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量子理论的诞生和发展(19):氢谱线的兰姆位移与量子场论的重整化

作者:张天蓉

1927年,狄拉克发表文章将电磁场量子化,目的是为了解释爱因斯坦1916年提出的原子自发辐射问题。一个孤立原子,不可能自动地辐射原本不存在的光子。在引进了场论之后,经典的真空不空,所谓的真空就成为了光子场的基态。这样一来,可以将自发辐射看做是真空对原子相互作用的结果。

在具体计算中,只能用微扰论来计算这种真空与原子的相互作用。因此,量子电动力学(QED)就是电磁量子真空态的微扰论。

这种真空态其实是物理学家们自己定义的——来源于“狄拉克海”。因为量子场论讨论的是光子场,既然是真空态,那么真空就被定义为所有(频率)的光子数都为0。

光子场作为一个物理系统,它的总能量可以表示为:

                H = hω ( n +  ½ )

公式中n是光子数。

可以看出,式中n=0的真空态(通常记作|0>)对应的总能量并不为0,而是,能量 H = ½hω。这个值在量子场论中被理解为真空态的涨落——物理学家的又一个创举。

因此,用QED研究原子(或电子)和电磁场系统时,可以将对应于能量的哈密顿量写成几个部分之代数和:单独原子系统的哈密顿量+单独电磁场的哈密顿量+两者(原子和电磁场)相互作用的哈密顿量+...。即下图:

电磁场和原子(或电子)的哈密顿函数

式中的 λ 是相互作用常数,与精细结构常数(a=1/137)有关。

一般来说,如果只考虑相互作用哈密顿量中的1阶近似或2阶近似,就可以得到与实验符合得不错的结果。但是,当考虑更高阶项,物理学家们以为可以改进理论计算的精确度时,却经常得到无穷大发散结果。

发散问题首先出现在1930年奥本海默发表的一篇论文中。他试图计算电子与电磁场之相互作用对原子中电子能级的影响(后来知道这是兰姆位移),然而结果却令他惊讶:电子自能更像一个不收敛的序列,类似于1+1+1+1+…。也就是说,量子场论最后计算结果预测的能级差异为无限大。

实际上,无穷大问题在经典电子学中就存在。经典电子是点粒子模型,在计算它自身电荷产生的能量时,需要将电子当作是一个半径为r的小球。可是这样一来,无论是将电荷均匀分布于球面上或球体中,当r趋近于0时,根据电子质量公式m=e2/rc2都会得到无穷大的电磁能。即当电子半径r趋于零时质量m趋于无穷。不得已,经典电子论只能通过引进电子的有限半径(非点粒子)来避免这一发散困难,但毕竟发散问题仍然存在。

后来,费曼和他的导师惠勒一起解决了经典电子的无穷大问题。他们的办法主要是建立了超前-推迟势模型,但在尝试推广此方法以解决量子场论中的无穷大自能问题时没有成功。

由于电子自能无穷大问题困扰着物理学家,量子场论的研究多年停滞不前。于是很多人开始怀疑量子场论,认为这个理论的着首点可能有根本性问题,需要提供新的观点来完善量子场论。那时,二战已经开始了,物理学家们只能搁置这类纯理论问题,去忙与战争相关的事。

二战结束之后,物理学家们重新思考如何解决无穷大问题。不过,讨论这个问题不再是索尔维会议了——索尔维会议因二战停办,二战结束之后也没有恢复举办。战后与此有关的三次重要会议已经移师美国,其中影响较为深远的一次是谢尔特岛(Shelter Island)会议。

这次会议于1947年6月在纽约州长岛东段的谢尔特小岛(Shelter Island)召开,由美国科学院主办。会议主题为“量子力学与电子”。实际上,主要是讨论当时的一个突破性进展发现:物理学家威利斯·兰姆和他的同事利用二战中发展的新兴微波技术测出了所谓的“兰姆位移”。谢尔特岛会议是科学史上的一件盛事,虽然与会者仅有24位,但他们都是一流人物。

1947年谢尔特岛会议合影 

Participants at the 1947 Shelter Island Conference on Quantum Mechanics (left to right): I.I. Rabi; Linus Pauling; J. Van Vleck; W.E. Lamb; Gregory Breit; D. MacInnes; K.K. Darrow; G.E. Uhlenbeck; Julian Schwinger; Edward Teller; Bruno Rossi; Arnold Nordsieck; John von Neumann; John A. Wheeler; Hans A. Bethe; R. Serber; R.E. Marshak; Abraham Pais; J. Robert Oppenheimer; David Bohm; Richard P. Feynman; Victor F. Weisskopf; Herman Feshbach. Not pictured: H.A. Kramers. 

根据狄拉克方程计算,氢原子的2S(1/2)和2P(1/2)能级相同,可以简并。在实验上,二战前的氢原子光谱也显示有精细结构,证明了2S(1/2)和2P(1/2)确实是相同的能级。兰姆觉得利用新兴微波技术,应该可以更清晰地显示氢原子光谱。经过反复尝试,他和同事设计出恰到好处的实验装置,终于探测到了新的氢光谱现象。他们发现2S(1/2)和2P(1/2)这两个能级其实并不吻合,而是存在一个小小的能级差。这种能级差好比是梯级中的一对本应一般高的台阶却呈现出一个比另一个稍微高的反常现象。这就是物理学家们后来所称的“兰姆位移”。

威利斯·兰姆(Willis Lamb, Junior)是生于洛杉矶的美国物理学家。1934年他获得加州大学伯克莱分校化学学士学位,后来在罗伯特·奥本海默的指导下完成中子散射研究,于1938年获得物理学博士学位。因为测试了兰姆位移,他被授予1955年诺贝尔奖。

作为谢尔特岛会议的主题内容,兰姆在会上报告了他的探测结果。

兰姆在谢尔特岛会议上作报告

被誉为鬼才的费曼也参加了谢尔特岛会议,还有另一位与费曼同龄的聪明年轻人、哈佛大学的理论物理学家朱利安·施温格(Schwinger Julian S)。他们俩同年出生于纽约。施温格家族是波兰籍犹太裔,从事制衣行业。他从小聪慧过人,与费曼一样也是一个有名的天才——物理学家中出了名的硬算高手,对冗长繁难的笔算非常拿手。与众不同,他的生活习惯却有点奇怪,习惯白天打瞌睡睡懒觉,晚上起床学习和工作。

核磁共振现象的发现者伊西多·拉比(Isidor Rabi)也向谢尔特岛会议做了精确测量电子磁矩的报告。施温格在纽约市立学院读本科时,就是被拉比看中后才转至哥伦比亚大学学习。1939年,施温格获博士学位,毕业后在伯克利加州大学和普渡大学任教。二战期间,他从事了有关雷达和加速器的研究。1945年出任哈佛大学教授,1970年代离开哈佛到加州大学洛杉矶分校任教。他培养了多名优秀博士生,其中有4人获得诺贝尔奖,此外还有布莱斯·德维特成为了量子引力的奠基人。

兰姆、惠勒(站)、派斯、费曼、费许巴赫、施温格在一起

兰姆的实验探测结果启发理论物理学家们意识到,计算中的电子自能之所以发散,它对应的物理原因可能是一种兰姆位移现象导致的。假如果真如此,则说明既有的量子场论存在缺陷,但这种缺陷还可以进行理论上的弥补,不需要重新洗牌,只是一个在原有基础上的重整化问题

重整化(也叫重正化)。在谢尔特岛会议上,确立了对量子场论重整化(renormalization)的基本构想。

谢尔特岛会议之前,日本的朝永振一郎(Tomonaga Shin'ichirō)与他的日本同事就已经解决了不少量子场论的问题,但因为战争缘故,他们的工作不为美、欧科学家所知。

事实上,在谢尔特岛会议提出重整化之前,就已经有一个所谓的正规化(regularization)的方法——即将产生发散的部分予以“截断”。很多情况下,无穷大是产生于量子场论中对从0到无限大的所有动量的积分。例如,在电子自能的计算中,需要包括所有频率的电磁场的能量,k值大的部分积分会引起无限大,如果将积分限制在某一个k以下,便能得到有限的结果。这种将大的k值规定它对应于小的空间范围称为正规化,所以正规化就是将空间尺度限制在一定范围。例如,设定一项空间中最小距离D,就可以略去那些太小(小于D)的尺度。

但正规化的方法引起许多质疑。比如有人提出,真实结果可能会与最小距离D有关,到底应该从哪个距离D开始截断,却无法得到正确答案。除了截断值D之外,量子场论中的参数与物理测量值之间还有许多含糊不清的概念。比如到底哪些参数是可以测量的?哪些参数又无法测量?痛定思痛,物理学家们综合这些疑惑或想法,就产生了后来称之为重整化(renormalization)的思想。

重整化的意思是说,是否有可能根据物理参数的实验值,通过重新定义某些参数(比如电荷、质量、耦合常数等),使得当正规化中的D趋近0的时候,计算结果收敛于一个固定值。这样,在计算中的无穷大就有可能被重新定义的参数抵消。如果一个理论模型只有有限个参数,通过借助实验数据对它们重新定义,而且能够消除理论计算中的困难,那么这个理论就是可以被重整化的,否则,就是不能被重整化。由于兰姆探测到了兰姆位移,量子场论又回到前台,即兰姆位移意味着QED可以被重整化。

实际上,重正化想法最早应归功于有洞见卓识的狄拉克。1933年8月,他在写给玻尔的信中就提到电子的“有效电荷”:“佩尔斯和我一直在关注由静电场引起的负能量电子的分布变化问题。我们发现这种分布上的变化使得部分电荷中和 ……这些有效电荷在所有低能实验中都可以测的到,实验决定的电子电量应该和电子的有效电荷量一致……当这种mc2大小的能量开始起作用,人们可以期待一些公式的修正”。狄拉克所说的有效电荷就是实验测量到的电荷,而他所说的真实电荷就是现在所谓的“裸”电荷,“电荷的中和”就是电荷重正化。

除了裸电荷(bare charge),还有裸粒子的裸质量或其它裸参数。“裸”的意思是将所考虑的粒子设想成完全孤立,在它不和任何其它粒子(或场)发生相互作用的情况下所具有的性质。当然,客观上不存在完全孤立的粒子,所以“裸”只有理论上的参量,它没有观察效应。但是,按照重整化思想,将这些裸参数假设(定义)为无穷大,使之与使用微扰论时碰到的无穷大量具有同样级别的增减变化,可以抵消发射等理论上无法处理的结果。这样,重整化所借助的实验参数就能显示出真实的物理意义。

在谢尔特岛会议上,克拉默斯(Hendrik Anthony Kramers)提出重新标准化(归一化)电子质量的建议,即质量重正化——将裸质量设想成无穷大以抵消无穷大的粒子自能来克服发散困难。因为电子与自身电磁场是不可分离的,考虑其与电磁场的相互作用而增加的质量,实际上就是考虑实验中的质量,但这并非需要涉及电子的结构问题。因此,质量重正化应该是可行的。

四天的会议结束之后,贝特在从纽约坐火车返程的途中仍然忘不了思考物理问题。他干脆拿出纸笔,竟然成功地完成了氢原子中电子能量的兰姆移位的第一次“重正化”计算。他把理论上能够通过重新定义电子的电荷e0、质量m0和场量ψ这些发散量,用重整化的方法进行处理,使各阶修正的结果都不再发散。这样计算的各阶辐射修正可以和实验数据进行比较。也就是说,贝特的方法基本上给出了兰姆移位的正确答案,或者说他对兰姆移位作出了理论诠释。

           

汉斯·贝特

汉斯·贝特(Hans Bethe)是一位很了不起的物理学家。他是出生于德国的犹太人,二战时期离开德国来到美国成为一位核物理学家。他主要研究恒星的核合成,解释为什么恒星能够在长时间里持续向外释放大量的能量。1967年,他因为在核物理研究方面的贡献而获得诺贝尔物理学奖。

贝特的职业生涯基本上都是在康奈尔大学任教授,仅仅是在洛斯阿拉莫斯的那几年参加了秘密的曼哈顿计划。他受罗伯特·奥本海默之命,负责原子弹研发的理论物理研究。在洛斯阿拉莫斯期间,他提拔了当时才20出头的年轻人理查德·费曼。

有了贝特的重整化基本框架,在多位物理学家的努力下,重整化的方法和理论逐渐完善。现在,经过重整化之后的量子电动力学是计算结果最精确的理论。根据它所求出的电子和光子相互耦合的精细结构常数(fine-structure constant)——理论值和试验的误差小于百亿分之3。

因此,费曼后来把QED誉为“物理学的瑰宝”。

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