范存丽 北京教科院基教研中心
于 萍 北京小学
数学本身就被看作一种工具，是人类认识这个纷繁复杂的世界的眼睛和钥匙，数学用量化和逻辑为描述事物的运动变化提供了统一的和严密的基础，并通过不断衍生新的数学分支来表述人类已经扩展极大和绩效的世界体系提供强大而有力的工具。
• 人和动物的区别在于人善于利用工具。
• 工欲善其事，必先利其器。
• 在数学学习中要善于借助数学工具。
课堂教学的改革要求教师以新的视角去审视“数学工具”的现实内涵，并以发展性的眼光审读它的价值取向。 数学教学是数学活动的过程。 数学活动的过程是学生收获知识的过程，是发展思维的过程，也是培养学生创新能力的过程。因此，教师应努力为学生的数学活动创造条件，“数学工具”则是学生数学活动的重要媒介，它最大的价值在于可以为学生提供实践的空间。 数字尺子，数轴，坐标系，百格图，方格纸等都是小学数学教学中重要的基本工具， 用好这些“数学工具”，学生便有了“做”数学的机会，用好这些“数学工具”学生将有机会体验数学、经历数学。
• 学生需要的不止是一碗水，一桶水，与其准备一缸水不如帮助学生找到水源。
• 学生找不到方向时，与其告诉学生方向不如给他们指南针。
• 学生找不到位置时，与其帮助找位置不如给学生一张地图，或者学生会主动去查地图。
学生在数学学习中， 数学工具就是“水源”、是“指南针”、是“地图”，可以带给学生解决问题的思路、方法和策略。“数学工具”的价值不仅仅在于帮助学生更好地学习数学知识，还将有助于学生习得数学学习的方法，让学生面对新问题、新挑战时，心中有“招”。
例如在数学教学实践中，数轴、方格纸、坐标系等数学工具就有着广泛的应用：
• 数 轴：认数、加减法、负数、比较大小、 24 时计时法、…
• 方格纸：平行、垂直、认数、平移、 旋转、图形…
• 坐标系：数对表示位置、正反比例、统计…
下面重点介绍方格纸和数轴的使用策略：
关于数轴：虽然小学阶段不学习数轴，但 数轴的方法可以下放到小学。作为数形结合的工具来促进数学教学。灵活应用数轴 ，能起到化繁为简 ，事半功倍的效果。 数轴的原型： 温度计、直尺、杆秤等。
各版本教材中都在很多时候运用了“数直线”，下面主要以人教版教材为例。在人教版教材中，在学生认识数、感受数与数之间关系等重要时机，呈现了丰富的、直观的、有效的能够促进学生建立数感的学习材料。如认识整数时的实物图；认识分数和小数时的实物图、线段图等……这些材料都有效地调动了学生的生活经验与认知基础，为学生认识抽象的数，理解数与数之间的关系提供了重要的感性支撑。
除此之外，在认识乘法、千米的认识、年月日、因数倍数等内容中也都有体现。学生正式学习数轴是在七年级（初中一年级）“有理数”单元中。教材中写道：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（ number axis ）。它满足：在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫做原点（ origin ）；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1 ， 2 ， 3 ……从原点向左，用类似方法依次表示 -1 ， -2 ， -3 ，……。教材中还明确指出：“数轴的出现对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，很多数学问题都可以借助图直观地表示。”
在小学阶段很长时间的学习中，学生们可能并不知道“数轴”这个名称，或并不清楚它的准确含义，但他们能够看懂数轴，甚至能够用好数轴。实践中，我们发现数轴能够帮助学生更深入地认识数，更准确地理解数与数之间的关系，为学生数感的建立起到了积极的作用。
实数与数轴的对话：
• 实数： “ 我是一个数字王国 , 包括两个民族 , 一个是有理数民族 , 另一个是无理数民族 ... ”
• 数轴： “ 我是一条平坦的高速公路 , 不论你往哪边走 , 都永远走不到尽头 . 这条路我只许有理数民族和无理数民族的成员走 ... ”
（ 1 ）认数：自然数、分数、小数、负数、百分数、分百小互化
（ 2 ）比较数的大小
让学生在数轴上填数，这是教材中第一次出现数轴，它比写在直尺上的数更抽象，其目的是帮助学生进一步巩固 10 以内数的顺序，以此加深学生对数序的理解。
此前认数时，直尺是多种实物模型中的一种（除直尺外还有实物图、算珠图等），现在继小棍（ 10 根一捆）之后，作为认识 11~20 的一道单独例题。明确要求学生能够把直尺上的数读出来，有助于学生理解 20 以内数的顺序和大小。
学生在学习整数时认识和使用数轴的经验，可以帮助他们借助数轴比较小数的大小。将小数与数轴上的点一一对应，不仅能够准确地判断小数的大小关系，“大多少”、“小多少”也能够被学生直观地感受到，这也是数感建立的重要过程。
而且借助数轴比较大小，学生还会自主总结出比较大小的方法。因为在数轴上很容易看到“数量级”。学生会很明显地看到所有的三位数大于所有的两位数，借助着数轴上自然绑定的数序，找到数的位置之时，也就比较出了数的大小。
（ 3 ）加减法
学生需要要将计数与图像联系起来，“多一个”就是与计数顺序中的下一个数相联系，“少一个”则是与计数顺序中的前一个数相联系。向前数（加法的计数策略）和向后数（减法的计数策略）也能和数轴上的移动（或“跳跃”）联系起来。数轴上的“跳跃”将为以计数为基础的计算策略提供心理意象。
学生有在数轴上进行加法“跳跃”的经验，在数轴上进行乘法计算，这样的“等距离连续跳跃”可以帮助学生进一步理解相同加数连加的乘法本质。
• 8 和 9 的乘法口诀：
用数轴上的点来呈现乘法结果，不仅是数形结合的一种体现。更能够让学生在计算小动物“跳跃”过程中，均匀累加的结果。每次跳跃的距离也就是一个单位长度，借助数轴就把“ 8 ”或“ 9 ”变成了简单的一个单位。使学生清楚地知道乘法口诀中每个乘积的来源，并理解相邻两个积之间等差的关系。同时也丰富了学生对数轴的认识，感受到数轴上的点与数之间的一一对应关系。
估算是展现和提升学生数感的重要途径，在这一内容的教学中出示了简易数轴（单位长度不统一），学生可以结合数轴将“往大估”与“向右移”相联系，“往小估”与“向左移”相联系，“离远了”与“差得多”相联系，“离近了”与“差的少”相联系……数轴为学生多样化的估算策略提供了直观参照。
（ 4 ）时间
学生对时间的认识和理解需要相当长的过程。时刻、时间两个概念的区分；对两个时刻之间相隔时间的计算都是教学中的难点。在这个学习过程中学生需要丰富的感知，也需要直观的手段给予辅助。在三年级《年月日》单元中有这样一幅图：
这个不完整的“数轴”的出现给学生们“帮了大忙”。教学中，很多学生都感到如果想知道“从上午 10 时到下午 14 时经过了多长时间？”似乎除了“掰着手指头数”没有什么更好的办法了。如果想知道“从上午 10 时 15 分到下午 14 时 20 分经过了多长时间？”就算“掰着手指头”也数不清楚了。可一旦画出“数轴”（或称“时间线”）很快就能“算”清楚了。在数轴上“时刻”是每个点，“时间”就是两个点之间的距离。这两个概念的不同直观明了地呈现出来。此外，在数轴上每个整时，都能够作为学生对时间进行比较和计算的标准（或参照）。使得复杂的关系变得简捷明了，抽象的概念变得具体形象。
借助顺序来理解和记忆时间的前后。而且我们说通过时间长轴与数轴的对应，可以在学习 24 时计时法时，让学生清晰理解时间的周期性。可以把 12 时或 24 时作为一个新的单位在数轴上呈现。
• 能体现顺序：认数、比较大小、位置与方向
• 能体现间隔：加减法、位置与方向
• 能体现数量级：认数、比较大小、时间
• 能体现周期：认识时间、认数
通过数轴的运用可以有效地渗透：
• 数形结合的思想
• 对应的思想
• 数轴与线段图的关系
• 坐标系中的两个数轴
• 使成为线性序
• 看到间隔
• 交集与并集在数轴上的表示
• 通过观察数轴确定字母的取值或大小关系
• 收集、处理信息的能力
《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的一个重要学习内容。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。
学生对空间观念的建立不仅需要数学思考，更需要实践感悟。教学中，教师要能够并善于为学生创造这样的思考空间和感悟条件。教材为教师的教与学生的学提供了大量丰富而有效的素材，用以实现对学生空间观念的培养。
纵观小学数学教材，在与图形相关的内容学习部分，大量地使用了方格（每个小格为正方形）图和点子图。甚至在《新课程标准》各学段具体内容标准中明确指出“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。”
教学实践中老师们也深感在几何教学中，用好方格图，可以有效地促进学生空间观念的建立。这一形式对学生学习“空间与图形”部分，以及空间观念的建立会起到怎样的作用？教师应在教学中怎样用好教材中提供的方格图？又可以怎样创造性地使用方格图，更好地开发它的价值呢？
1 ．问题 1 方格图有哪些形式？
2. 问题 2 ：方格图在教材中的应用
教材中对方格图的使用几乎覆盖了小学阶段“空间与图形”的所有平面内容的学习（除长正方体、圆柱圆锥等立体图形）。教材这样的设计尊重了小学生的认知基础，顺应了小学生的认知需求，有效地帮助学生建立方位感和距离感，这些也正是发展学生空间观念的重要途径与组成部分。方格图都可以用在哪里？
• 图形的认识
案例 1 ：认识平行与垂直
在四年级上学期《平行四边形和梯形》单元中，学生正式学习“平行”与“垂直”。这是只限于直线之间的位置关系，是学生继续认识平行四边形和梯形等其它平面图形的知识基础。教材中的实例主要分为两类：一类是以实物形式呈现出的线与线的关系（如：双杠、公路的两边……）；另一类是抽象的直线（如：学生绘出的不同关系的直线、用三角板画出的平行线与垂线……）。这些学习材料可以帮助学生建立正确的平行与垂直的概念。但在实际教学中，学生对“水平的”或“竖直的”直线关系非常认可。对倾斜的（与水平线有夹角）的两条线的关系则不太容易认可，常有凭感觉来判断或绘图的现象。于是我设计了这样的练习：
a. “两条直线是怎样的关系？”
b. “情况变化了，下面几幅图中两条线段还互相平行吗？”
虽然线段的长度发生变化了，方向变成竖直了，但位置关系还都是相互平行的。这组图帮助学生抛开了“线段长度”、“方向”等非本质因素，对平行关系有了更清晰的认识。
c. “你能画出与下面这条线段有平行关系的线段吗？”
以此帮助学生丰富对不同方向平行关系的理解。
起初大多数学生画出的都是这样的：
并有学生关注到了线段在方格中的位置，借助方格准确地画出了与已知线段有平行关系的线段。这时方格图发挥了重要的参照作用。
进而又有学生画出了：
都得到了学生的广泛认可，也展现了学生对概念本质的理解。
d. 请你判断下面三组线段是否相互平行？
此时网格图已然成为了学生判断平行、理解概念的重要依据。学生对平行的认识在逐步加深，对平行的表象在悄然形成，空间观念得以有效提升。
案例 2 ：圆的认识
（ 2 ） 测量
在《四边形》的教学中，学生学习了周长的概念后有这样的练习，让学生在方格图中深化对周长概念的理解，同时为发现规律，感受图形联系提供了鲜活的研究素材。再如，《面积》单元中，借助方格图帮助学生发现规律。感受并发现面积与周长之间的关系。这里的方格图不仅仅可以提供给学生简单的数据提示，以便成功地发现规律，更能够帮助学生在计算的基础上建立形的表象，这正是建立空间观念的好时机。在《多边形面积》与实践活动《铺一铺》中，方格图都发挥了测量标准的重要作用，除了帮助学生发现和总结计算方法，更为学生理解和感受面积、面积单位、面积单位的个数之间的联系起到了重要的作用。学生在这样的活动中不仅收获了知识，也积累了测量的意识和方法。
• 图形与变换
小学阶段，有关图形与变换内容的学习，二年级上册《观察物体》以及二年级下《图形与变换》单元中，方格图成为低年级学生学习简单的对称（轴对称）、平移两种图形变换的重要工具。五年级下册《图形变换》高年级学生对较复杂的轴对称和旋转变换依旧离依赖方格纸的标准作用。
• 位置与方向
在《位置与方向》单元教学中，引用学生熟悉的座位排序，这是学生认识位置的好素材，这时出现的一些实物图，都是认识方格图的最初事物模型。此外，大量出现的“参照轴”是简化的平面直角坐标系。成为学生理解位置和方向的直观参照。在这里出现的地图中的经纬线，更是一种方格图的变式，再一次调动学生对方格图中位置的理解和认知基础，更好地感受和认识较大范围的位置关系。以前对方格图的使用，为这里的学习奠定了坚实的基础。在高年级位置与方向教学中，明确地引入“数对”。用一对有序数来表示一个点在平面中的位置。并借助大量方格图帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系，以及数对中两个数的不同含义。这些不仅仅会成为学生提升空间观念的素材，也会为今后学习平面直角坐标系做好充分的孕伏。单元明确地引入“数对”。用一对有序数来表示一个点在平面中的位置。并借助大量方格图帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系，以及数对中两个数的不同含义。这些不仅仅会成为学生提升空间观念的素材，也会为今后学习平面直角坐标系做好充分的孕伏。
以往比较关注“方位”的是体育或地理学科，在感受身体活动和认识地理位置的过程中建立对正确、准确的“方位”概念。其实数学课上对学生方位的建立是空间观念的一部分，也是不可或缺的重要阶段。在学生建立方位感的初期，方格图上一条条水平和竖直的线，一组组平行与垂直的关系，将为学生建立方位感提供有力的参照，从而提升学生的空间观念。
在认识图形特征，建立周长和面积概念的时候，点与点之间、线与线之间的距离应该是引起学生细致关注的要点。而实际测量中必然存在的误差将在一定程度上分散学生关注的重点，躲避不开的细节将给学最初认识图形带来没有必要的干扰。而方格图则很好的解决了这个问题，有大小相同、整齐排列的方格相衬，“距离”自然而然地走进了学生的心里，被学生接受和认可。这种自然而然建立起的距离感，促使教学直指概念的核心，帮助学生有效地建立概念，发展空间观念。
空间观念是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素。空间观念主要表现为学生主动、自觉或自动化地“模糊” 2 维和 3 维空间之间界限的一种本领，是一种可以把握的能力。能够发展学生空间观念的学习内容主要包括：视图与构造，直观与推理，观察与投影。通过对具体情景的探索会发现，从不同的角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动是发展学生的空间观念的有效途径。
在小学阶段，主要是通过直观的手段来学习几何初步知识，充分利用和创造各种条件，使学生在观察、操作等活动中，获得对简单几何形体和平面图形的直观经验。 在空间与图形内容的学习过程中，观察和感知实物是学生学习必不可少的学习经验。但总停留在直观层面，也不能够很好地完成提升空间观念的任务。由具体向抽象的转变是必要的，方格图在这个过程中就肩负了由具体到抽象、由模糊到清晰、由粗略到精确、由现象到本质的过渡。在这个过渡的过程中学生的空间想象力可以得到充分而有序的训练，空间观念的提升也可以自然而然地落实在每部分的学习之中了。
方格图只是教材众多有效素材中的一类，对方格图进行梳理并不是说它是学生空间观念建立的唯一途径。但教学实践证明，它的确是一种有效的学习材料。对学生数学思想、数学方法，甚至是数学能力的培养都有不可估量的价值。教师如果发现了它的价值，能够充分地用好它，一定能够对学生空间观念的提升起到积极的促进作用。
三．在小学数学教学中其它数学工具的使用策略：
在小学数学中有很多基本的数学工具，如百格图，坐标系，创意图等。百格图也可看成又一种方格纸。借助百格图可以从两个维度来看数，并可看到很多数字规律。如将百格图变换列数和行数，还可以在教学乘法口诀时发挥很大作用。
结语：
希望数学工具成为学生口渴时朝向的水源，借助数学工具去解决问题。把握好基本的数学工具，运用好数轴和坐标系的度量作用，用数轴生成新的单位去度量长度；用方格纸生成直尺去量平行，生成移动的尺子去量圆，像坐标系一样去量方向与位置，图形的面积，生成三角板去量直角，并自己创造特殊角，。灵活画出直观图解决问题。希望学生将数学工具作为翅膀，惬意地展翅而飞。
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