全国中小学教师继续教育网--用好方格图,促学生空间观念的建立

2011-10-09

用好方格图,促学生空间观念的建立
于 萍
北京小学
摘要:
《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的一个重要学习内容。教学中,教师都在努力为学生提供建立空间观念的时机和空间。笔者纵观整套小学数学教材(人教版),发现在与图形相关的学习内容中,大量地使用了方格(每个小格为正方形)图和点子图。教学实践中教师也感到,用好方格图可以有效地促进学生空间观念的建立。本文对方格图在教材中的分布进行了系统的整理与说明,并进行了系统分析。试阐述“方格图对学生有效的学习‘空间与图形',以及空间观念的建立所发挥的作用”。并以此引发了“教师该怎样用好方格图?”、“还可以怎样创造性地使用方格图,更好地开发其价值?”等一系列的思考与尝试。
主题词: 方格图 空间观念
《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步创新精神和实践能力的一个重要学习内容。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换,它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。
学生对空间观念的建立不仅需要数学思考,更需要实践感悟。教学中,教师要能够并善于为学生创造这样的思考空间和感悟条件。教材为教师的教与学生的学提供了大量丰富而有效的素材,用以实现对学生空间观念的培养。
纵观小学数学教材,在与图形相关的内容学习部分,大量地使用了方格(每个小格为正方形)图和点子图。甚至在《新课程标准》各学段具体内容标准中明确指出“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。通过观察、操作,认识轴对称图形,并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。”
教学实践中老师们也深感在几何教学中,用好方格图,可以有效地促进学生空间观念的建立。这一形式对学生学习“空间与图形”部分,以及空间观念的建立会起到怎样的作用?教师应在教学中怎样用好教材中提供的方格图?又可以怎样创造性地使用方格图,更好地开发它的价值呢?为了纵观方格图在小学教材中的分布与价值。笔者对教材(人教版为例)中方格图的使用进行了整理与分析。以此引发教师对方格图价值的关注,更好地发挥其作用,对促进学生空间观念的立起到积极的促进作用。并尝试创造性地使用方格图,以求更好地挖掘方格图对学生空间观念建立的价值。
一.在教材中,现有方格图的梳理与分析
在学习图形内容时,教材中大量出现方格图,为学生感受方位,理解图形变换方式以及认识图形特征创造条件。现将“空间与图形”部分的内容按( 1 )图形的认识;( 2 )测量;( 3 )图形与变换;( 4 )图形与位置划分结构。并按第一学段和第二学段对教材内容进行梳理(重复内容有所删减)并简要分析如下:
第一学段
第二学段
图形的认识
• 在三年级上册《四边形》单元中,初步认识四边形时,对平行四边形的认识仅仅停留在直观感受阶段。这时 方 格纸所呈现出来的“平行”和“相等”关系成为学生判断的主要依据。为学生今后深入研究相关数学概念积累重要的直观经验。
•  在四年级上册《平行四边形和梯形》与四年级下《三角形》两个单元中比较集中地出现了方格图与点子图。其中点子图(钉板)是在学生认识方格图的基础上的变式。由于只有点而缺少线了,它将为学生提供更大的想象空间。学生要由图形的特征分析顶点的关系,由顶点的位置想象边与边的位置关系,进而认识图形。这些都为学生深入理解图形特征,建立空间观念提供了良好的素材。
测量 •  在三年级上册《四边形》单元中,建立学习了周长的概念后有这样的练习,让学生在方格图中深化对周长概念的理解,同时为发现规律,感受图形联系提供了鲜活的研究素材。
•  三年级下册《面积》单元中,借助方格图帮助学生发现规律。感受并发现面积与周长之间的关系。这里的方格图不仅仅可以提供给学生简单的数据提示,以便成功地发现规律,更能够帮助学生在计算的基础上建立形的表象,这正是建立空间观念的好时机。
•  五年级上册《多边形面积》与实践活动《铺一铺》中,方格图都发挥了测量标准的重要作用,除了帮助学生发现和总结计算方法,更为学生理解和感受面积、面积单位、面积单位的个数之间的联系起到了重要的作用。学生在这样的活动中不仅收获了知识,也积累了测量的意识和方法。
类似这样的练习在六年级总复习中也有体现。
图形与变换
•  二年级上册《观察物体》以及二年级下《图形与变换》单元中,方格图成为低年级学生学习简单的对称(轴对称)、平移两种图形变换的重要工具。
•  五年级下册《图形变换》高年级学生对较复杂的轴对称和旋转变换依旧离依赖方格纸的标准作用。
图形与位置 •   一年级下册《位置》单元,学生熟悉的座位排序是学生认识位置的好素材,这时出现的一些实物图,都是认识方格图的最初事物模型。
•  在一年级的《位置》学习中就已经使用了方格图。
•  四年级下册学习《位置与方向》时,大量出现的“参照轴”是简化的平面直角坐标系。成为学生理解位置和方向的直观参照。在这里出现的地图中的经纬线,更是一种方格图的变式,再一次调动学生对方格图中位置的理解和认知基础,更好地感受和认识较大范围的位置关系。以前对方格图的使用,为这里的学习奠定了坚实的基础。
•  六年级上册中的《位置》单元明确地引入“数对”。用一对有序数来表示一个点在平面中的位置。并借助大量方格图帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系,以及数对中两个数的不同含义。这些不仅仅会成为学生提升空间观念的素材,也会为今后学习平面直角坐标系做好充分的孕伏。
基于以上资料的整理,现将小学阶段教材中使用方格图的内容梳理如下:
通过分析上图,可见教材中对方格图的使用几乎覆盖了小学阶段“空间与图形”的所有平面内容的学习(除长正方体、圆柱圆锥等立体图形)。教材这样的设计尊重了小学生的认知基础,顺应了小学生的认知需求,有效地帮助学生建立方位感和距离感,这些也正是发展学生空间观念的重要途径与组成部分。就方格图对促进学生建立方位感和距离感的作用简述如下:
(一)方格图为学生建立方向感提供参照 —— 方位感
以往比较关注“方位”的是体育或地理学科,在感受身体活动和认识地理位置的过程中建立对正确、准确的“方位”概念。其实数学课上对学生方位的建立是空间观念的一部分,也是不可或缺的重要阶段。在学生建立方位感的初期,方格图上一条条水平和竖直的线,一组组平行与垂直的关系,将为学生建立方位感提供有力的参照,从而提升学生的空间观念。
(二)方格图为学生感受距离提供标准 —— 距离感
在认识图形特征,建立周长和面积概念的时候,点与点之间、线与线之间的距离应该是引起学生细致关注的要点。而实际测量中必然存在的误差将在一定程度上分散学生关注的重点,躲避不开的细节将给学最初认识图形带来没有必要的干扰。而方格图则很好的解决了这个问题,有大小相同、整齐排列的方格相衬,“距离”自然而然地走进了学生的心里,被学生接受和认可。这种自然而然建立起的距离感,促使教学直指概念的核心,帮助学生有效地建立概念,发展空间观念。
空间观念是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素。空间观念主要表现为学生主动、自觉或自动化地 “ 模糊 ”2 维和 3 维空间之间界限的一种本领,是一种可以把握的能力。能够发展学生空间观念的学习内容主要包括:视图与构造,直观与推理,观察与投影。通过对具体情景的探索会发现,从不同的角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动是发展学生的空间观念的有效途径。
在小学阶段,主要是通过直观的手段来学习几何初步知识,充分利用和创造各种条件,使学生在观察、操作等活动中,获得对简单几何形体和平面图形的直观经验。 在空间与图形内容的学习过程中,观察和感知实物是学生学习必不可少的学习经验。但总停留在直观层面,也不能够很好地完成提升空间观念的任务。由具体向抽象的转变是必要的,方格图在这个过程中就肩负了由具体到抽象、由模糊到清晰、由粗略到精确、由现象到本质的过渡。在这个过渡的过程中学生的空间想象力可以得到充分而有序的训练,空间观念的提升也可以自然而然地落实在每部分的学习之中了。
方格图只是教材众多有效素材中的一类,对方格图进行梳理并不是说它是学生空间观念建立的唯一途径。但教学实践证明,它的确是一种有效的学习材料。对学生数学思想、数学方法,甚至是数学能力的培养都有不可估量的价值。教师如果发现了它的价值,能够充分地用好它,一定能够对学生空间观念的提升起到积极的促进作用。
二.在教学中,创造性地使用方格图,有效促进学生空间观念的建立
教材中丰富的方格图带给了我重要的启示,也让我深感方格图对发展学生空间观念的价值。在教学中,除了用好这些现有的方格图,还有哪些地方可以用它?可以怎么用?怎样尽可能大地体现方格图的价值?我思考着,也尝试着。
在四年级上学期《平行四边形和梯形》单元中,学生正式学习“平行”与“垂直”。这是只限于直线之间的位置关系,是学生继续认识平行四边形和梯形等其它平面图形的知识基础。教材中的实例主要分为两类:一类是以实物形式呈现出的线与线的关系(如:双杠、公路的两边……);另一类是抽象的直线(如:学生绘出的不同关系的直线、用三角板画出的平行线与垂线……)。这些学习材料可以帮助学生建立正确的平行与垂直的概念。但在实际教学中,学生对“水平的”或“竖直的”直线关系非常认可。对倾斜的(与水平线有夹角)的两条线的关系则不太容易认可,常有凭感觉来判断或绘图的现象。于是我设计了这样的练习:
1. “两条直线是怎样的关系?”
这是学生所熟悉的情况,判断的结果异口同声 —— “相互平行”。
2. “情况变化了,下面几幅图中两条线段还互相平行吗?”
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 5 )
虽然线段的长度发生变化了,方向变成竖直了,但位置关系还都是相互平行的。这组图帮助学生抛开了“线段长度”、“方向”等非本质因素,对平行关系有了更清晰的认识。
3. “你能画出与下面这条线段有平行关系的线段吗?”
以此帮助学生丰富对不同方向平行关系的理解。
起初大多数学生画出的都是这样的:
并有学生关注到了线段在方格中的位置,借助方格准确地画出了与已知线段有平行关系的线段。这时方格图发挥了重要的参照作用。
进而又有学生画出了:
( 1 )
( 2 )
都得到了学生的广泛认可,也展现了学生对概念本质的理解。
4. 请你判断下面三组线段是否相互平行?
此时网格图已然成为了学生判断平行、理解概念的重要依据。学生对平行的认识在逐步加深,对平行的表象在悄然形成,空间观念得以有效提升。
除了在平面图形的学习中,在认识立体图形的过程中,方格图也可以有效地发挥作用。如:在五年级学习长方体和正方体时,学生不仅要建立对长、正方体的立体表象,还要能够将它们与平面展开图之间建立起联系,这也是提升空间观念的好时机。我设计了这样的练习:
习题 1. 图中每个小方格是边长 1 厘米的正方形,你能求出这个长方体的表面积吗?
学生对长方体的平面展开图并不陌生,但大多平面展开图中都直接提供了长方体长、宽和高具体数据,在此基础上学生可以直接运用公式进行相关计算,学生不需要对平面展开图进行分析,也缺失了空间想象的过程。而画在方格图中的平面展开图,不直接标明任何数据,但计算所必需的长、宽和高就藏在网格中。学生需要通过空间想象,分析哪些线段是长、哪些是宽、哪些是高。变简单的“用数据”为先“找数据”再“用数据”。除了运用基本公式解决问题以外,学生对长方体顶点、面和棱之间的关系也有了进一步梳理和深入的认识。正是方格图为学生提供了一次空间想象和发展空间观念的机会。
习题 2 :下面“平面展开图”中,哪个能围成长方体?哪些不行,为什么?
学生要想准确地解决这个问题,就需要将平面展开图在头脑中“折”起来、“立”起来,形成立体的表象。此时的方格图,不仅向学生传递着必要的数据信息,还悄然地展现着边与边的相等关系,面与面的全等关系……简洁而直观的方格,为学生的空间想象提供了必要的支撑和有效的参照,有助于学生深化对长方体特征的理解,有助于学生空间观念的建立。
综上所述,教材中的每幅方格图都承载着提升学生空间观念的点滴作用,一点一滴虽然微小,但能小中见大、滴水穿石。教材中蕴藏着丰富的培养学生空间观念的好时机,教师要有意识地深入理解教材的每个设计意图,并用好这些素材。此外,教师还要努力去创造性地使用素材,为学生的空间观念乃至各方面数学能力的积累创造良好的条件,真正地使数学教学为学生数学素养的积累服务。
参考文献:
[1] 刘兼,孙晓天 . 走进新课程丛书全日制义务教育数学课程标准(实验稿)解读 [M]. 北京师范大学出版社, 2002.4
[2] 孙晓天《空间观念的内容及意义与培养》《数学教育学报》 2002 年地 11 卷第 2 期
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