一个简单的数学竞赛问题（IMO1987P4）

这题真的很简单，有高一数学的集合和映射的知识水平就能做。

4. 证明：不存在定义域和值域都是非负整数的函数，使其满足对任意有.

当然它也有那么一点点竞赛特色，就是解题用的工具箱和解答高考题的那些不太一样。

首先，一个基本技能是判断哪些条件是本质（essential）的而哪些不是。在这个题目的例子里，因为1987并没有特殊的数论性质，因此可以大胆猜测它的绝对数值不是重点。那么是什么东西让这样的函数构造不出来呢？

这就是做竞赛题的工具箱里面另一个主要的方法，就是研究toy models（玩具模型）。比如说，（说来轻巧，但这种直觉也是需要做题目才能练出来的）直觉会告诉你条件的本质是“中增量是奇数”，那么你就应该大胆尝试研究的“变体”，看看能不能找出对回答问题有帮助的信息。不过可能过于简单，以至于可以用投机取巧的办法做——那你就应该研究一下。

就算是研究简单的模型，你的思路也依然是分步进行的，大胆猜想而小心求证。最后，形成的夹叙夹议的论证过程应该差不多长这样：

1. 应该是个单射——用更通俗的说法，两个不同的数对应的函数值也应该不同。这是很显然的，因为如果有一个数同时是两个数的函数值，那么不可能对两个数同时成立。

2. 因此，的映射规律降解为若干个互不重叠的“链条”。如果我们把称作沿着链条“下游”前进，那么“上游”就是反推的过程。显然，这样的上游追溯不可能无限继续下去，因为，所以对于任意的，在最多次之后就会停止。

3. 关键是接下来的几个关于“链条”上数的性质的判断。(1)链条上的第一个数一定是里的数之一，否则的话显然可以用反推，与这是链条的第一个数矛盾；(2)同理可以知道链条上的第二个数也一定是里的数之一；(3)但是，从第三个数开始，后面的数一定不能是里的数之一，因为（以第三个数为例）它是链条上的第一个数用递推得到的。

4. 于是，每个链条都含且只含有两个里的数，而且由于是单射，这些数各不相同。但是！在时上面的集合中含有奇数个数字，所以这是不可能的。回顾一下，我们做的唯一假设是的存在。所以由反证法过程可以知道这是不可能的。