对我熟悉的朋友都知道，我不喜欢做几何，所以就只有代数、组合、数论题的思考在这篇文章里。
现在比赛已经结束了，我们回顾过往，看中国的历年IMO的成绩的历程，可以看出我国在成绩上总体是进步的。
首先恭喜所有的参赛选手，选手们都取得了金牌。
祝贺他们，祝他们都能有一个美好的未来。也祝愿所有参与过各类竞赛的同学们未来可期，可以在自己所热爱的领域一直走下去。你为的是你的热爱，不是其它别人强加上去的符号。
本届竞赛的领队为北京大学肖梁老师，副领队为华东师范大学的瞿振华老师，比赛地点位于日本Chiba，为日本第十三大城市。在中国曾在Beijing、Hong Kong、Taipei举办，即将在Shanghai举办。
下面给出试题（虽然大家在很多的文章里都看过了）：
因为不写几何题，所以我们只说1、3、4、5题，这四道题刚才大家都看到了，我国选手都拿了满分，说明这四题难度并不大，我们带着大家分析一些这几道题。我们这四道题都是只给出分析，具体过程请读者自行完善。
1.求所有满足下列条件的正整数：若的所有正因子满足对任意，均有。
分析：这题其实不是特别需要分析吧（，甚至说枚举几个就能看出来了。
看这些例子，只有符合条件。所以我们很敏锐的感受到，是不是所有符合条件的数只有。
事实如此。对于这种形式的，我们容易验证，而如果一旦有了两个素因子，我们再观察上面的例子，大多是倒数第三个不整除最后两个的和，但有的不是，例如：
这里显然是倒数第四个不整除其后两个元素的和，而不是倒数第三个。仔细看，最后三者，成等比数列。而我们再观察一下，实际上是这样的形式，也就是说倒数第四项实际上这时候并不是的形式。所以我们可以大致猜测如何解决该问题了：
设，则考虑及其之后两个数，这就举出了反例。
点评：这个题就是那种试着写就能做出来的题，没有难度，直觉比较好的应该可以在十分钟之内解决掉这个题。
3.对每个整数，求所有满足下述条件的无穷正整数列，存在一个非负系数多项式，满足：
分析：首先我们需要确定非负系数多项式和满足的式子两个条件都有什么作用。
由非负系数多项式可以得到在上单调递增，且有：
对于第一个条件的处理，我们便如此了。再考虑第二个条件，我们用高中经典方法可知：
以及其为个数列中的项相乘，恰好对应次，也就是说我们还可以考虑：
这样的一个结构。这个解的结构是否和上式相关？事实上，我们可以肯定之。但我们先来看这个条件。这个条件，结合单调性，又能说明什么问题？
也就是这样的一串等价关系，所以这让我们倾向于去处理单调性条件。那么我们很容易就能论证为单调递增的。
接下来，我们需要处理条件为
的形式。此时我们显然可以这样搞：
其中。非常自然地，我们会抛出一个问题，就是必须与无关。从此我们就能看出来，为非负整数公差，首项正整数的等差数列。
那么我们如何得知必须与无关呢？我们的操作手法实际上是给估计一个上界，然后就可以利用抽屉原理得到存在无穷多个，此时对应符合条件的一组解，那么此时由多项式理论及单调性就能得到命题成立。
点评：一道可爱且有趣的题目吧，但是也似乎没那么好玩。
4.设为个两两不等的正实数，使得
均为正整数，，证明：。
分析：首先这个题看上去觉得很奇怪，因为均为正整数这个条件便很奇怪。再看一眼，像柯西，那么我们刺探一下：
最显然的，有Cauchy不等式：
取等条件是所有元相等。再试探一下？
不能取等，所以。
那么这时候会更大，因为实际上的元素已经在中决定了。那么我们考察一般的：
实际上这个条件比Cauchy不等式要强。但是这还是不够，如果我一直用这个不等式放出来，界就大了而已。而我们需要，那么我们注意整数的性质，我们下面考虑连续两个中，必不能同时取等。那么我们使用反证法，就可以得到结论。这样我们得到
那么利用递推，我们得到
点评：我不喜欢这道题，但是它还是很优美的。我做这道题思考的时间可能比第三题思考的时间要长点儿？
5.设为一个正整数。“和風三角形”是将个圆排成正三角形的形状，使得对，从上到下的第行有个圆，其中恰有一个被染为红色。在日式三角内, 忍者路径是指一串由个圆组成的序列, 从最上面一行的圆开始, 每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一, 直至到达最下面一行的某个圆为止。下图为一个的日式三角，其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径。
求最大的整数(用表示), 使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径, 它包含至少个红色圆。
思路：是存在性命题啊。那我们就试一下吧（）
的情形显然是，的情形显然是，的情形也显然是，我们从开始画：
事实上，无论如何选定道路，我们都会发现，都得是。而我们局部贪心，可以构造出的一条路径：
而的时候，我们会发现，无论如何贪心，都贪不了，都得是。这里就不画了。仔细看变化的时候，。这啥啊？的幂次。所以我们反过来看，实际上可以猜测：。
那我们接下来怎么搞？实际上我们上面的贪心的过程已经暗示了一切。我们只需对，其路径总数为。那么我们只需要整体证明所有的路径经过的红色的圈的个数要大于即可。实际上我们可以考虑到的层。加路径计算就行了。
看病去了，溜了，最后一题写的不是特别细致，但是思路都是没问题的，都是我做这几个题的思路。（By the way 伊蕾娜我脑婆 谁跟我抢伊蕾娜我禁言谁 哼╭(╯^╰)╮
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