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第十五届学而思数学竞赛联考一试二试试题及解答
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2024.05.01 湖南

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本次一试整体难度不算大,但对于细节方面要求高一些。

填空题方面,前五题比较容易,而后三道稍有难度。

第一题,主要考察函数的迭代与不动点,不过要注意函数的值域;

第二题,只需要列举出前几项就可以发现规律,即题目数列与斐波那契数列息息相关;

第三题,则实比较常规的三角函数与最值结合的问题,当然猜出最值情况是等腰三角形也可以得到正确答案;

第四题,主要考察抛物线的焦点弦,选择合适的设直线方法也可以减少计算量;

第五题,简单的整除问题,将组合数相除即可得出答案;

第六题,其实是套着复数外衣的方程问题,通过题目条件结合韦达定理得出a,b满足的充要条件既可;

第七题,填空题中最难的一道,难点在于棱切球对于大家相对陌生,方法在于通过切线长定理得出该四面体是一个正三棱锥后,转化为平面上的几何问题,如果不清楚棱切球相关公式计算量会有些大;

第八题,比较容易的组合计数问题,分析出不满足条件的集合数量比较少,因而选择使用反向计数,不过本题需要注意审题。一试解答题部分难度高于填空题

第九题,题干看起来很唬人的复数问题,但只需要抓住单射的概念既可突破本题;

第十题,比较常规的解析几何问题,利用直曲联立求出三角形面积以后解方程既可,要注意在计算的过程中y^2-3x^2一定会多次作为整体出现,因而可以将其换元;

第十一题,很常规的四元不等式问题,从需要放缩的代数式形状可以想到利用三角换元,转化为三角不等式以后调整法可解。

本次二试整体难度较大,其中二、四难度较高,并且由于没有送分题,也考验考生做出简单题的速度。

第一题,比较简单的几何题,核心是猜出切点后倒角说明共圆和相切,考察几何直觉和倒角能力;

第二题,困难的代数题,直接调整很难做出,考察基本的放缩技巧以及对绝对值相关的不等式性质的理解;

第三题,比较容易的组合题,解法很多,其中加强命题归纳是比较简洁的方法;

第四题,困难的数论题,需要举例观察到规律,不过找到思路后的分析并不复杂,考察独立发现中间结论的能力。

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