双抛物线在给定范围内的最值问题探讨

在中考压轴题中，最值问题是一个常见考点，而二次函数的最值，又可简单分为顶点在范围内，以及顶点不在范围内两种基本情况。于是在此基础上，另一类变化更加复杂的压轴题出现了，它有两根位置不确定的抛物线，自变量范围给定，再讨论最值问题时，抛物线的不确定性会让解题变得更加困难，而对学生数形结合能力的考验也更严峻，想像出那两根动抛物线，以及相应的范围。

题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O(0,0)，AD⊥y轴于点E(点E在点D的左侧)，经过E、D两点的函数y=-1/2x²+mx+1(x≥0)图象记为G1，函数y=-1/2x²-mx-1(x<0)的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到图象记为G，设矩形ABCD的周长为L

(1)当点A的横坐标为-1时，求m的值；

(2)求L与m之间的函数关系式；

(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；

(4)设G在-4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当3/2≤y0≤9时，直接写出L的取值范围.

解析：

(1)点A的横坐标为-1，根据矩形的对称中心在原点，可得到点D的横坐标为1，观察抛物线G1的函数解析式，发现它经过点E(0,1)，于是点D的坐标信息就完善了，为(1,1)，代入G1的解析式中，解得m=1/2；

(2)L为矩形周长，则有必要将四个顶点坐标用含m的代数式表示出来，将抛物线G1的对称轴分别求出来，为x=m，既然G1经过E、D两点，且它们的连线平行于x轴，于是它们一定关于x=m对称，因此可得点D坐标为(2m,1)，由矩形中心对称性得A(-2m,1)，B(-2m,-1)，C(2m,-1)，现在可以表示周长L=8m+4；

(3)抛物线G2的解析式告诉我们，它一定经过点F(0,-1)，再求出它的对称轴x=-m，可知它又经过点B(-2m,-1)，这已经与矩形有两个公共点了，意味着不再可能出现第三个公共点，则抛物线G2的顶点在何处？应该不能超过直线AD，于是得到抛物线G2的顶点纵坐标小于1.如下图：

写出G2的顶点纵坐标为(m²-2)/2，当它等于1时，m=±2，取哪个值呢？题目中有点A在点D的左侧，则m>0，于是m=2，L=8m+4=20。

(4)图象G包含两根抛物线，那么最高点到底在哪根上，是需要解决的第一个问题，要分类讨论，而范围是给定的，于是我们先确定分类标准，即两个根抛物线两个顶点，究竟在不在这个范围内，第一种情况：两个顶点全部在范围内；第二种情况，有一个顶点在范围内，第三种情况，没有顶点在范围内。

第一种：两个顶点全部在范围内，抛物线G1和G2的顶点横坐标分别为m和-m，要全部在范围-4至2之间，只需要保证m≤2即可，显然这种情况下，G1的顶点高于G2的顶点，因为它们开口大小、方向相同。如下图：

因此写出它们顶点的纵坐标即为y0=m²/2+1，令它分别等于3/2和9，得到1≤m≤4，结合本类讨论的范围m≤2，结果为1≤m≤2，于是12≤L≤20；

第二种：有一个顶点在范围内，哪一个呢？我们的范围在-4和2之间，在正半轴的部分只有负半轴的一半，因此极大可能是G2的顶点在此范围内，G1的顶点有可能先“跑”出去，在G2顶点也“跑”出去之前，此时2<m<4，如下图：

而另一根抛物线G2顶点依然在范围内，可进行比较，同样得到此时最高点为M，于是将x=2代入G1后，即可得y0=2m-1，所以3/2≤2m-1≤9，解得5/4≤m≤5，结合本类讨论的范围2<m<4，结果为2<m<4，于是20<L<36；

特别地，当m=4时，通过计算发现抛物线G2的顶点与抛物线G1上的最高点M纵坐标相同，均等于7.

第三种：没有顶点在范围内，则两个顶点全部在范围外，此时m>4，如下图：

通过比较发现抛物线G2上的N点为最高点，将x=-4代入G2得y0=4m-9，所以3/2≤4m-9≤9，解得21/8≤m≤9/2，结合本类讨论的范围m>4，结果为4<m<9/2，于是36<L<40.

解题反思：

准确理解抛物线与矩形恰有两个交点是第一个难点，突破关键在于对抛物线图象的性质理解，一般来讲，对图象性质理解越深刻，则在大脑中绘图的速度与准确度就越高，而图象性质的理解，往往取决于新授课上的第一印象，它深刻了，后面的理解自然就顺畅，否则，处于半懂状态，再学习后续知识，这个漏洞迟早要买单。当参数发生变化时，抛物线也随之变化，揪住不变的部分例如开口和大小，盯住变化的部分例如顶点，再结合给定范围，找到分类标准并不难，在每一种分类中，谁高谁低，先猜想，再计算验证，缺一不可。