几何构型 | 一组对边相等的四边形

一组对边相等四边形，在凸四边形、凹四边形、折四边形中均有美妙的性质，这里以凸四边形为例说明。

性质1：四边形ABCD中，AB=CD，M、N是AD、BC中点

直线MN与AB、CD成等角，即∠BEN=∠F

推论：BE=CF

证明：

记G为AC中点

易知GN是△ABC中位线

所以∠BEN=∠GNM

同理GM是△ADC中位线

所以∠F=∠GMN

又GM=GN

所以∠BEN=∠F

推论证明：

作DP//BE交NM于点P

易知△DMP≅△AME

所以AE=DP

由1知∠BEN=∠F

所以∠DPM=∠BEN=∠F

所以DP=DF

所以AE=DF

所以BE=CF

性质2：四边形ABCD中，AB=CD，记对角线AC、BD中点分别为N、M，直线MN与AB、CD成等角，即∠AEF=∠DFE

推论：BE=DF

证明：

记K为BC中点

易知KN为△ABC中位线

所以∠AEF=∠KNM

同理∠DFE=∠KMN

又AB=CD

所以KN=KM

所以∠KNM=∠KMN

所以∠AEF=∠DFE

推论证明：

作DP//AB交EF于点P

易知△BEM≅△DPM

所以BE=DP

由1知∠DFE∠AEF=∠DPF

所以DP=DF

所以BE=DF

性质3：四边形ABCD中，AB=CD，M、N是AD、BC中点

记对角线AC、BD中点分别为F、E，则MN、EF互相垂直平分

证明：

易知ME、MF、NE、NF分别为为△ABD、△ACD、

△BCD、ABC中位线

所以ME=EN=NF=FM

即四边形NFME是菱形

所以MN、EF互相垂直平分

注：

当AB=CD，∠ABC+∠DCB=90°时，此时四边形NFME是正方形，去掉AB=CD这一条件，仅满足∠ABC+∠DCB=90°时，此时四边形NFME是矩形。

例：已知AF是△ABC的角平分线，在AB、AC边上截取BD=CE:M、N分别是DE、BC中点，求证：MN//AF

证明：

连接BE，记P为BE中点，延长PM交AF于点Q

因为MQ//AB，PN//AC且∠BAF=∠CAF

所以∠PMN=∠PNM

因为∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠ABP+∠PBN+∠BNP=∠ABN+∠C

所以∠PMN+∠PNM=2∠BAF

所以∠PMN=∠BAF

因为∠PQF=∠BAF

所以∠PMN=∠PQF

所以MN//FA

性质4：四边形ABCD中，AB=CD，DA∩CB=K

则圆(ABK)与圆(DCK)是等圆

证明：

两弦所对圆周角相等，由正弦定理易得为等圆

性质5：四边形ABCD中，AB=CD，AB∩CD=P，圆(PBD)∩圆(PCA)=Q，则∠QPC=QPB

证明：

因为A、P、C、Q四点共圆

所以∠QAB=∠QCD

同理∠QBA=∠QDC

且AB=CD

所以△QAB≅△QCD

所以QA=QC

所以∠QAC=∠QCA

所以∠QPC=∠QAC=∠QCA=QPB

性质6：折四边形相交两边相等且不垂直(或凸四边形对角线相等且不垂直)的充要条件为，即AB=CD，AB∩CD=G，圆(BCG)∩圆(ADG)=X，以AB、CD为直径的圆公共弦为PQ，则X在PQ上（PQ为这两圆的等幂轴）

证明：

记AB、CD中点为M、N

因为∠XAB=∠XDC，∠XBA=∠XCD

所以△XAB∼△XDC

又XM、XN为这两个三角形中线

所以(XM/AM)=(XN/DN)=k，其中AM、DN为圆M、圆N半径

显然k≠1，否则与题设不符

所以X位于PQ上，即点X对圆M、圆N的幂相等

所以AM(^2)-XM(^2)=D(N^2)-X(N^2)

所以(1-k(^2))AM=(1-k(^2))DN

所以AM=DN

所以AB=CD

例1：△AGB∼△AEC，DB=DC，∠DBC=∠GBA，M、N为BC、GE中点，求证：MN//AD

证明：

旋转△ABD至△GBP，同理旋转△ACD至△ECQ

所以∠(GP，AD)=∠GBA=∠ECA=∠(EQ，AD)

易知MP=MQ，且GP=EQ

由性质1知，∠(GP，NM)=∠(EQ，NM)

所以NM//AD

例2：EF=CD，EF∩CD=B，圆(BDF)∩CF=Q，圆(CBE)∩CF=P:，M、N为PB、QB中点

求证：C、N、M、F四点共圆(2010，中国数学奥林匹克)

证明：

在凹四边形CDEF中，应用性质5知，AB平分∠CBF

因为M、N为PB、QB中点

所以CM、FN平分∠BCF、∠BFC

所以AB、CM、FN共点于△BCF内心I

由相交弦定理知，CI·IM=AI·IB=NI·IF

所以由相交弦逆定理知C、N、M、F四点共圆

例3：凸四边形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD，设点E、F分别在边BC、AD内部，满足BE=DF，直线AC交BD于点P，EF交BD、AC于点Q、R

证明：当点E、F变动时，△PQR的外接圆经过除点P

外的另一个定点.(第46届IMO)

证明：

因为BC不平行于AD，所以△APD、△PBC外接圆除交于点P外，必交于另一点M，则M为定点

由BC=AD，应用性质4得

△APD、△PBC外接圆为等圆

由∠DAM=∠BPM=∠BCM知DM=BM

同理AM=MC，注意到DF=BE

所以△FDM≅△EBM

所以MF=ME且∠FMD=∠EMB

同理∠FMA=∠EMC

所以∠EMF=∠BMD=∠CMA

即等腰△MEF、△MBD、△MAC顶角相等

所以底角也相等

所以∠MEF=∠MBD=∠MCA

所以M、B、E、Q，M、E、C、R分别四点共圆

所以∠MQB=∠MEB=∠MRP

所以Q、P、R、M四点共圆

例4：圆心为O[1]、O[2]的两个等圆交于P、Q两点，O是公共弦PQ中点，过P任作两条割线AB、CD(不与PQ重合)，点A、C在圆O[1]上，点B、D在圆O[2]上，M、N分别为AD、BC的中点，已知O[1]、O[2]不在两圆的公共部分内，点M、N不与O重合，求证：M、N、O三点共线

证明：

因为圆O[1]、圆O[2]为等圆

所以CO[1]=BO[2]，AO[1]=DO[2]

由性质4知AC=DB

分别在四边形ACBD、四边形O[1]O[2]BC、四边形O[1]O[2]DA中应用性质1知

直线MN与AC、DB成等角，直线ON与O[1]C、O[2]B成等角，直线OM与O[1]A、O[2]D成等角

注意到，同时与两相交(或平行)直线成等角的直线是互相平行的，从而MN、ON、OM三直线重合

所以M、N、O三点共线

例5：锐角△ABC的外接圆在点A、B处的切线交于点D，M是AB的中点:，求证：∠ACM=∠BCD(2007，IMO中国国家集训队培训题)

证明：

过点A作与BC相切的圆O[1]，圆O[1]与CD交于点Q，作BCQ的外接圆圆O[2]，连接AQ并延长与圆O[2]交于点E，连接BQ并延长与圆O[1]交于点F

易知∠AQD=∠AFC=∠ACB=∠ABD

所以A、D、B、Q四点共圆

注意到DA=DB，则∠AQD=∠DQB

所以∠AQC=∠BQC

又∠QAC=∠QCB

所以∠ACQ=∠CBQ

所以圆O[2]与AC相切于点C

倍长CM至点P ，则四边形CAPB是平行四边形

因为∠CFP=∠ACB=∠APB且CB//AP

所以四边形CFPB是等腰梯形

所以CF=BP=CA，同理CE=CB

所以∠CBE=∠CEB=∠BCA=180°-∠CBP

所以E、B、P三点共线

同理F、A、P三点共线

又因为∠ACF=∠ACB=∠BCE

在等腰梯形CFPB中，∠FCM=∠FBP=∠QCE

所以∠ACM=∠FCM-∠FCA=∠QCE-∠BCE=∠BCD

注：此例应用调和四边形可简洁推证

例6：已知△ABC的∠B旁切圆与AC切于点D，∠C旁切圆与AB切于点E

M、N分别为BC、ED中点

求证：MN平分△ABC周长，且与∠A平分线平行(第21届世界城市(冬季)数学竞赛)

证明：

设MN分别与AC、AB交于点G、F，L为GF中点

由题设知D、E分别为旁切圆圆I[B]、圆I[C]的切点

所以EB=(1/2)(AB+CA-BC)=DC

由性质1知∠BFM=∠MGC

所以AF=AG，且ML与∠A角平分线平行

又由性质1知BF=CG

所以BM+BF=CG+MC=AF+AC+MC

从而MN平分△ABC周长

参考文献：沈文选《一组对边相等四边形性质及应用》

云台剑客