一、图形的全等
例1、如图1,在正方体中,M、N分别是棱AB、BC上的点,P是棱的中点。求M、N在什么位置时,PB⊥面,并证明之。
图1
剖析:当M、N分别是棱AB、BC的中点时,PB⊥面
连接AC、DB,则AC⊥DB
又PD⊥AC,由三垂线定理得AC⊥PB
在正方形ABCD中,由MN∥AC,得MN⊥PB
取中点E,连接PE,则PE⊥面
在正方形中,
则,而
故
即
由三垂线定理得:PB⊥
从而PB⊥面。
这里用到了平面几何中两个三角形全等的性质。图1中的是正方形中的一般结论。
二、图形的相似
例2、如图2,在正四棱柱中,,,并交于点M。求点B到面AMC的距离。
图2
剖析:易证⊥面AMC,设垂足为H,则
BH就是点B到面AMC的距离
连接BD交AC于点O
在中,
得
则,即
故
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