三角级数

我在之前一篇文章“泰勒为何要展开”介绍了“泰勒级数”，“泰勒级数”是一种“幂级数”，就是把一个函数，“拆解成一堆”关于x的加减乘除运算：

后一个省略号一般写成余项，以便估算误差。

现在，如果我们不是采用“x^n”这种“基本元素”，而是使用三角函数cos(nx)这种形式的“基本元素”，则，我们可以尝试写成如下形式（注意，此时e^x应限定周期并进行周期延拓，因为三角级数只能表示周期函数）：

问题来了，系数A1、A2...An是啥呢？

傅里叶说，我有祖传配方，可算系数。

这就是“傅里叶级数”。

具体公式各大课本都有，在此不予讨论。

傅里叶级数

根据上面的原理，我们可以将一些函数展开成“傅里叶级数”，比如，可以在一个周期内，将x^2展开：

x^2的傅里叶级数展开

注意，和泰勒展开类似，这里也是“完美的等于“，不是“约等于”。

三角函数sinx（或cosx）的微分依然是三角函数：

积分也依然是三角函数：

在信号分析时，这个特点会带来很大的优势。

因为，微分和积分运算，只改变了三角信号的“相位角”，而不改变其类型及幅值。

这样，我们可以将信号“拆解”成一堆正弦信号，然后就可以只关心每个正弦波的“相位”变化，运算起来极其方便。

当然，这只是优势之一。更多优势，欢迎大家自学成才。

刚才提到的傅里叶级数拆解法，其实有一个前提，就是要求信号是周期的，或者，它在一个周期内是有限长度的，我们再进行周期延拓（复制粘贴到其它周期），这是由于三角级数这个“元素”本身得周期性造成的。

如果信号是无限长且“非周期”，那么，我们就要用到傅里叶变换了。

实际上，傅里叶变换就是“频率上极其致密”的正弦波的叠加。

听起来怎么又他娘的如此抽象，我们回到刚才x^2的例子：

x^2的傅里叶级数展开

注意，cos1x和cox2x直到coxnx，在求和中有“贡献”。

但是，你有没有发现，cox1.1x或cox1.11x或cox2.22x等等正弦波，都没有参与求和，对结果“没有贡献”。

当我们想用正弦波来表示非周期的函数时，就要付出代价：

这些正弦波不仅无穷多，而且，频率n将不再是离散的整数，而是“连续”的实数，我们将它记作ω。

ω就是正弦波的频率，它实质上就是cos(ωt + φ)这样“一大堆”正弦波中的“ω”，此时，求和就演变成为积分。

当我们表示成cos(ωt + φ)形式的积分时，运算比较复杂，于是，我们用欧拉公式转换一下：

于是，积分号内就出现了如下的指数形式：

用指数形式进行计算，相位角可以直接在角标上进行加减，非常方便。

至此，就出现了令人困惑的，

傅里叶变换。

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傅里叶、拉普拉斯变换和信号系统

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