条件概率公式图解推导

废话不多，先上条件概率公式：
众所周知由 P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(B∣A)P(A)
得出
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( B ) P(A|B)= \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)​
原来一直不理解 P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A∣B)P(B)这一步怎么来的。
现在以图举例：

如上图，假设有一个样本空间S，里面分别包括子样本空间A和子样本空间B，C是两个样本空间的交集。
先说P(AB)，指得是A和B同时发生的概率，相对于整个S样本空间来说， P ( C ) = P ( A B ) S P(C)=\frac{P(AB)}{S} P(C)=SP(AB)​,
P©就是在整个S样本空间下P(AB)发生的概率。
关键点，P(A|B)指的是在B条件下A发生的概率。假设S样本空间为1，B在S样本空间占比为P(B)= 4 10 \frac{4}{10} 104​，而 C C C在B样本空间的占比,也就是B条件下A发生的概率，记着小 P ( c 1 ) P(c_1) P(c1​)为 1 6 \frac{1}{6} 61​。那么C在整个S样本空间的占比就是 1 6 ∗ 4 10 \frac{1}{6}*\frac{4}{10} 61​∗104​。即 P ( C ) = P ( c 1 ) ∗ P ( B ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(C)=P(c_1)*P(B)=P(A|B)*P(B) P(C)=P(c1​)∗P(B)=P(A∣B)∗P(B)

对于整个样本空间来说 P ( C ) = P ( A B ) P(C)=P(AB) P(C)=P(AB)，并且 P ( C ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(C)=P(A|B)*P(B) P(C)=P(A∣B)∗P(B)
那么： P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A∣B)P(B)