作者简介：丘成桐为美国哈佛大学数学与物理教授，菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖得主。为几何分析学之大师，并出入于数学与物理之间。中国科学院外籍院士。科普著作有《大宇之形》（2012）、《从万里长城到巨型对撞机》（2016）、A History in Sum: 150 Years of Mathematics at Harvard (1825-1975)（中文版：《简史：哈佛数学150年》，即将出版）。
译者简介：赵学信是《数理人文》杂志特约编辑，网络工程师，专事翻译、写作。
本文译自作者于2015年6月1日在加拿大费尔兹研究所的「黑洞国际会议」大会演讲讲辞。中译文繁体版载于《数理人文》杂志第6期（2015年10月），简体版刊载于“数理人文”微信订阅号，转载请注明出处。
爱因斯坦在维也纳讲演，摄于1921年。
（Ferdinand Schmutzer 摄影，维基百科）
我们都知道，就在整整一百年前，爱因斯坦写下了他统驭重力和动态时空的著名方程式。爱因斯坦的这项创造被认为是人类历史上最伟大的成就之一，他的动机是要结合物理学上两个重要但互不相容的理论：其一是行之已久的牛顿重力论，另一是刚发展出来的狭义相对论。
他必须解决这两项重要理论的不相容性：狭义相对论是建立在没有任何资讯的传递速度可以超过光速的基本原理上，而牛顿力学则允许远距作用，容许重力的瞬间传递。
在他尝试合并这两大理论之时，爱因斯坦做了许多思想实验（Gedankenexperiment）。他的理论里非常重要的一点是改变了牛顿力学绝对静态空间的想法。在这过程中，他受到了物理学家暨哲学家马赫（Ernst Mach）的影响。还有一个重要的概念——闵可夫斯基度量（Minkowski metric），是在1908年由爱因斯坦的老师闵可夫斯基（Hermann Minkowski）所引入的。闵可夫斯基度量把狭义相对论的重要特征转化成四维时空的描述，其中的洛仑兹群是以时空的等距群（group of isometries）呈现的。于是，时间和空间再也无法分割，时空的几何理论开始出现在物理学的核心。
广义相对论的诞生
这对爱因斯坦是一个重要的转捩点，他了解到时空力学不可能只是单纯牛顿理论和狭义相对论的结合。因为牛顿重力论是由纯量函数所主宰的。而在狭义相对论里，物理量会随速度及物体的移动方向而改变，因此爱因斯坦问他的数学家好友格罗斯曼（Marcel Grossmann），哪种数学理论可以解释这样的量。格罗斯曼回答说，研究黎曼几何的克里斯多福（Elwin Christoffel）和李维奇威塔（Tullio Levi-Civita） 所发展出来的张量（tensor）概念应该是他需要的数学概念。
于是借重黎曼几何里的黎曼度量张量（metric tensor），爱因斯坦要用它来描述重力场，为了寻找与牛顿场类似的方程，爱因斯坦藉由他最重要的思想实验成果——等效原理。根据等效原理，爱因斯坦知道，描述重力的方程应该在一般坐标变换之下是共变的（covariant，或译协变），而不只是靠选择特定的坐标。比照牛顿的方程，重力场方程的一边是与物质有关的张量，另一边则应该是表现重力场的黎曼度量的某种二次微分，而且基于等效原理这个微分必须是张量。
爱因斯坦的 'Die Feldgleichungen der Gravitation'（重力场方程）于1915年12月2日发表在普鲁士科学院学报。（影印截图）
爱因斯坦坚持要格罗斯曼帮他找出更多关于度量张量的资料。格罗斯曼最后在图书馆里发现，意大利几何学家里奇（Gregorio Ricci-Curbastro）所发现的里奇曲率张量（Ricci tensor）似乎是适合的张量。它是把度量微分两次的曲率张量经缩约（contraction） 而得的，也是坐标变换下的共变量，而且又有正确的变数数目，很符合爱因斯坦的期待。
爱因斯坦和格罗斯曼在1913年和1914年合写了两篇论文，在其中写下了重力场用张量描述的方程式。但是爱因斯坦还有一项很重要的使命：他想要解释水星近日点进动（precession of perihelion）时的不正常现象，这是天文学的一个重大问题。由观测可知，水星的绕日轨道每次都会略有不同，这个现象无法以牛顿方程来解释，已经令天文学家困惑了许久。爱因斯坦和格罗斯曼所得到的方程式也无法解释这个现象，因此爱因斯坦仍须继续与他的新理论奋斗。
水星近日点进动示意图。（维基百科）
在1914年到1915年间，爱因斯坦为此请教李维奇威塔和希尔伯特（David Hilbert），得益于希尔伯特的协助，爱因斯坦最后终于找到了重力场方程
注：其中左边方程式的时空几何部分，gij是度量张量，Rij是里奇张量，R是纯量曲率（scalar curvature），右边则是方程式的物质部分，Tij是应力能量张量（stress energy tensor），G是牛顿重力常数， c是光速。
不过在1917年，为了呼应当时流行的稳定宇宙观点，爱因斯坦不得不加入一个宇宙常数λ，维持解的稳定。于是重力场方程变成
但后来从各种观测证据如哈勃望远镜知道宇宙膨胀的事实后，爱因斯坦认为他犯了一生最大的错误，伤害了方程的美感。
因此一直到1980年代，物理学家认为宇宙常数是0，还有人认为这是人类观察大自然得到最准确的数据。但是由于后来发现宇宙暗能量的现象，近日物理学家倾向留住宇宙常数，并希望用它解释真空能量，于是错误又变成正确了。无论如何宇宙常数是否为0，仍然是重要的问题。
其实希尔伯特在爱因斯坦发表结果的前十天，也发现了这个方程，同时还找到利用作用量原理推导方程所需的拉格朗日函数。尽管如此，实际做计算，而且确认这方程可以解释水星进动现象的还是爱因斯坦。希尔伯特也大方的承认这是爱因斯坦的方程与理论。
爱因斯坦还使用广义相对论来解决光线路径的问题，说明如果一颗恒星发射的光线来到地球，当光接近太阳时会如何被时空曲率所弯曲。此一现象在1919年，由两组天文学家分别在非洲西岸和巴西两地观测日全食而得到证实。经由新闻报导，一夕之间爱因斯坦成为妇孺皆知的名人。令人惊讶的是，我们现在仍使用同样的原理来设计全球卫星定位系统（GPS），以确保其精确性。
爱丁顿1919年5月29日在西非观测到的日全食，验证了爱因斯坦广义相对论关于太阳重力场造成光偏折的预测。（维基百科）
许多物理学家以为广义相对论是凭空创造出来的，他们并未考虑到黎曼及其追随者所发明的几何新观念所带来的深远影响，没有这些已经成熟的数学概念，爱因斯坦就不太可能找到恰当的数学架构，可以表述广义相对论。
而在另一方面，广义相对论也对近百年的几何学发展，提供了最深刻的动力和影响。在爱因斯坦提出广义相对论的一年后，史瓦兹席德（Karl Schwarzschild）写下了著名的爱因斯坦方程的球对称解，不但有助于光线偏折的计算，这个解更成为静态不自转恒星或黑洞的主要模型，它也是最早发现与大自然相关的内禀度量（intrinsic metric）。
数学家立即着手研究广义相对论。伯克霍夫（G.D. Birkhoff）证明了爱因斯坦方程球对称解的唯一性。更重要的是，包括李维奇威塔、卡当（élie Cartan）、魏尔（Hermann Weyl）、卡鲁札（Theodor Kaluza）在内的许多数学家开始推广广义相对论，把物理学的其他相关领域涵纳进来。他们的研究，对物理学和数学都做出了根本性的贡献，例如像是基本规范场论，以及广义相对论额外维度的卡鲁札－克莱恩模型（Kaluza-Klein model）【译注：这里的克莱恩是 Oskar Klein，不是 Felix Klein】。
魏尔所引入的规范场论对现代物理学和数学有着重大的影响。爱因斯坦对规范场论的评价甚高，但他指出，魏尔的第一篇论文不合乎物理学，因为它的平行移动（parallel transportation）在长度上并不守恒。
十年之后，魏尔受到量子论的启发，把他理论中的规范群换成圆群（circle group），于是在平行移动时保有长度守恒的性质。魏尔的规范场论被杨振宁和米尔斯（Robert Mills）推广到非交换规范群（nonabelian gauge group），后者成为粒子物理标准模型的核心要素之一。
卡鲁札则引入了重力的五维理论。他发现爱因斯坦方程在五维时空中的圆对称真空解，在降到四维时，可以得出有效的重力理论和麦克斯韦方程。如此一来，电磁力即可被纳入到重力理论。爱因斯坦很喜欢卡鲁札的理论，但根据这理论会多出一个纯量场，而这在自然界是观察不到的，所以并不符合物理现实。
尽管如此，卡鲁札－克莱恩理论并未从此绝迹，比方说，它又出现在现代弦论里，只不过原先的圆被卡拉比－丘流形（Calabi-Yau manifold）所取代。
广义相对论中的质量
让我们再回到爱因斯坦写下方程的时间点，看看紧接在后他所关心的课题。譬如有些问题是以广义相对论此一新理论来理解古典的物理量，他大多数的论证所根据的是线性逼近。我们知道，最重要的物理量是质量、（线性）动量和角动量。在牛顿力学里，它们可以用时空的连续对称群来定义（诺特定理，Noether's theorem） ，但在广义相对论的时空里，根本没有连续对称。
首先，爱因斯坦对「孤立物理系统」的概念感兴趣。如果一个时空在无穷远处近似平坦的闵可夫斯基时空，其中没有质量也没有重力，则我们会说它是孤立的物理系统。然而，一个时空如何能够在无穷远逼近平坦闵可夫斯基时空？这是一个棘手的问题。爱因斯坦处理这个问题，并且定义孤立物理系统的总质量和线性动量。但更严格的表述则是由阿诺维特（Richard Arnowitt）、戴瑟（Stanley Deser）和米斯纳（Charles W. Misner）在1962年总结提出【注：参见 Gravitation: an introduction to current research，L. Witten 编辑，Wiley & Sons 出版】。
请注意质量的概念，在广义相对论和牛顿力学里不同。在牛顿力学里，质量可以写成质量密度的积分；但在广义相对论里，由于等效原理的缘故，这种写法是不可能的。只有孤立物理系统才能定义总质量，因为渐近庞加莱群（asymptotic Poincaré group）可以作用在时空的无穷远处。
孤立物理系统的质量是否为正，是广义相对论的一个重要问题。如果质量不恒为正，系统会变得不稳定，而广义相对论的正确性也变得难以确保。这个问题自爱因斯坦当时便一直悬而未决，直到35年前才由孙理察（Richard Schoen）和我使用几何分析的方法解决。
数年之后，威腾（Edward Witten）又根据比较线性的旋量理论（theory of spinors），提出另一个证明。过去三十余年，这两种论证方式在研究古典广义相对论的问题时，都极为有用。
只能定义孤立物理系统的总质量用处很有限。长久以来，我们一直不确定广义相对论中是否存在「准局部质量（quasi-local mass）、线性动量和角动量」。也就是说，假定有一个二维空间，例如时空中的球面，对于这个球面所围绕的三维区域，我们能否以某种测量方式来定义其质量、线性动量或角动量。
直到最近，王慕道、陈泊宁和我找到了这些古典量的令人满意的定义。我们能够计算这些量，当球面远离孤立物理系统时，而不必把极限取到无穷大。这让我们可以测量重力波穿越二维球面时所携带的能量。
重力辐射
重力辐射是一种存在于广义相对论，而在牛顿重力论中付之阙如的现象。1917年时，爱因斯坦以线性逼近的方式孤立出重力场的辐射模式，而且导出著名的四极矩公式（quadrupole formula）。长期以来，总有人质疑它的导出是否依赖线性化或是坐标的选择。其实早在1922年，爱丁顿（Arthur Eddington）便曾说，爱因斯坦写下的这些解是「以思考速度传播」 的坐标变换。
显然在某个时期，连爱因斯坦本人都对重力辐射有所怀疑，他说道：「我和一位年轻的合作者得到了一个有意思的结果：重力波并不存在。虽然我曾很确定它们的存在并计算到一阶逼近。这足以显示，非线性的重力场方程所告诉我们的，或说所限制我们的，远比我们迄今所以为的还多。」 【注：转引自 D. Kennefick 于2005年在纽约石溪大学的演讲。】
但是到了1960年代，对于重力辐射的信心又再恢复了。当时，物理学家邦迪（Hermann Bondi）和萨克斯（Rainer K. Sachs）藉由研究在零无穷远（ infinity）的度量渐近性【编注：在狭义相对论中光随时间演化的轨迹形成光锥，由于其时空长度为0，故亦称为零锥。零锥将时空分成类时区与类空区，对于讨论因果性是重要的限制条件。在广义相对论中延袭类似的想法，将光的未来或过去轨迹的无穷逼近部分称为零无穷远】，发现了一个更内禀的辐射表述。人们发现将零无穷远的割迹朝未来移动时，邦迪质量会减少，这表示辐射确实带走了某些质量。此一事实提高了他们理论的可信性。同时，许多学者（包括孙理察和丘成桐）证明了邦迪质量永远为正，这表示重力辐射不能把所有的能量都辐射掉。
邦迪、梅兹纳（A.W.K. Metzner）和萨克斯等人对于零无穷远的分析，产生了一个称为 BMS 群的无穷维群（以三人姓氏的首字而得名）【注：M.G.J. van der Burg 也参与他们关于重力辐射的研究，并有重要贡献】。BMS 群的表示（representation）对于古典物理和量子物理的重力理论都很重要。然而从数学的观点来看，邦迪等人对于时空在零无穷远的紧致化研究做得还不够完美。
彭罗斯（Roger Penrose）曾提出一种渐近平坦时空的紧致化。这对广义相对论的许多课题都是很重要的假说。它可以推导出描述魏尔曲率张量（Weyl curvature tensor）在无穷远时如何衰退的「剥解定理」（peeling theorem），但它能否成立，仍然还有待验证。
克里斯托杜娄（Demetrios Christodoulou）和克莱纳曼（Klainerman）处理了其中一种重要情形，他们考虑的是接近平坦闵可夫斯基时空的时空结构。结果显示，彭罗斯的想法并非完全正确。
克里斯托杜娄根据他们的研究提出了重力辐射的记忆效应（memory effect），这是爱因斯坦方程非线性特性的结果。有些学者——包括毕耶利（Lydia Bieri）、陈泊宁和我——循此方向继续研究，我们的工作是以毕耶利和齐卜瑟（Nina Zipser）的广泛研究为基础，后者的研究结合了重力和麦克斯韦方程组。
黑洞面面观
如前所述，史瓦兹席德写出了爱因斯坦方程的第一个解，他的解包含奇点，也就是曲率趋于无穷大的点。在奇点上，一切的物理定律都会失效。这出现在后来由克尔（Roy Kerr）、弗立德曼（John Friedman）, 以及莱斯纳－诺德斯聪（Reissner-Nordstr?m）等人所做的推广。许多人试图用微扰来消除奇点，但这些努力一直未能成功，然后彭罗斯和霍金（Stephen Hawking）证明了著名的奇点定理，从而表明奇点不能藉由微扰来消除。他们的论证运用了囚陷曲面（trapped surface）的概念，当光线以垂直于曲面的角度射出，不管是向内或向外射出，最后都会收敛。彭罗斯和霍金证明了黑洞的存在蕴含时空奇点的存在。这是一个非常精采的一般性定理，证明的手法极为巧妙。
从600公里外看到的黑洞模拟图，黑洞的质量相当于10个太阳，背景则是银河系。（Ute Kraus 制作，Universit?t Hildesheim, Gallery of Space Time Travel; Axel Mellinger，背景图：维基百科）
然而他们的证明迥异于传统双曲方程理论的奇点定理，我们并不知道奇点的行为。而且他们的证明假定了囚陷曲面的正则性（regularity），这在恒星坍陷时不见得能成立。
无论如何，「包覆在囚陷曲面」里的时空奇点可称为黑洞。黑洞的第一个模型是由史瓦兹席德解给出的，它是静态、不旋转的黑洞。
旋转黑洞的精确解则是由克尔在1963年提出。克尔解是古典广义相对论最卓越的成就之一，其中出现了许多神祕的性质。克尔解是由两个参数所刻划：质量和角动量。当角动量远大于质量时，就会出现裸奇点（naked singularity），也就是说，该奇点并未被事件视界包围住，所以可以被外界观察到。类时（timelike）的基林场（Killing field）在黑洞外，可能会变成类空（spacelike）的。彭罗斯利用此一事实，提出从旋转黑洞汲取能源的方法。
泽尔多维奇（Yakov Zel’dovich）观察到，当有波射向旋转黑洞时，与黑洞的角动量方向相同部分的波会因为散射而被强化，因而在离开时带有比入射时更大的能量。这个过程称为超辐射（superradiance）。
在1967年到1975年之间，以色列（Werner Israel）、卡特（Brandon Carter）和罗宾森（D.C. Robinson）、霍金以一系列的出色定理，证明了真空背景下的稳定黑洞，必定是克尔解。如果考虑黑洞也可以带有电荷，上述定理连同梅哲（P.O. Mazur）、邦丁（G. Bunting）的研究，推广证明真空背景下稳定黑洞是带电的克尔解，惠勒（John Archibald Wheeler）将此一事实称为无毛定理（no-hair theorem）【编注：刻画真空背景的稳定黑洞只需要质量、角动量、电荷三个参数，没有其他物理资讯容身的馀地，因此被戏称为「无毛定理」。惠勒透露这个词其实是贝肯斯坦发明的】，这是在研究黑洞时运用很广泛的基本定理。
然而，如果仔细阅读他们的证明，可以看到他们假定了黑洞具有某种正则性。我们还不清楚如果减弱正则性的假定，无毛定理是否还能成立。无论如何，我们发现如果藕合重力与杨－米尔斯方程（Yang-Mills equation），则可发现无穷多个（但是离散的）新的静态黑洞。
在这一方面，巴特尼克（Robert Bartnik）和麦金农（John McKinnon）找到了第一个数值解，严格的证明则由史莫勒（Joel Smoller）、瓦瑟曼（Arthur Wasserman）、丘成桐和麦克劳德（J.B. McLeod）提出。找出一个良好的物理原因来解释这类黑洞的存在，仍是很有意思的问题。
人们发现，能够产生不平凡的静态球面黑洞的重力和杨-米尔斯藕合常数，形成一个离散数列。这个独特的事实曾被从物理或从几何来解释。我们很希望知道，它是否是某种自伴算子（self-adjoint operator）的谱。根据图科斯基（Saul Teukolsky）的研究，我们已经知道，史瓦兹席德黑洞是线性化稳定的，但对它的非线性稳定性仍无所知。唯一已知动态稳定的时空是平坦的闵可夫斯基时空，这得归功于克里斯托杜娄和克莱纳曼的研究成果。（他们的工作又被毕耶利和齐卜瑟予以强化。）
黑洞的克尔解已知只有在角动量相对小于质量时，才是线性稳定的。这仍是理解这类古典黑洞的一大重要课题。
彭罗斯提出的宇宙审查猜想（cosmic censorship conjecture）是古典广义相对论的一个最基本的问题，它说的是，给定一般非奇性初始条件，则其重力塌缩结果永远不会形成裸奇点。这个猜想之所以重要，是因为裸奇点会对我们希望从初始数据预测未来的想法形成干扰。
对于纯量场的球对称初始条件，克里斯托杜娄研究这个问题，发现在非常局限的情形可以找到裸奇点。达菲摩斯（Mihalis Dafermos） 延续他的工作，研究所谓的柯西视界（Cauchy horizon）问题。
黑洞的许多重要几何资讯，在物理学上具有基本意义的。例如，克里斯托杜娄和霍金发现，黑洞的面积会随时间而增加。这对贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）于1973、1974年的黑洞热力学研究非常重要。贝肯斯坦发现，黑洞熵和它的面积有关，面积增加变成了热力学第二定律的结果。
受到这个定律的启发，霍金在1974年发展出黑洞的量子理论。他论证，如果纳入量子力学的效应，黑洞就不再是全黑的，黑洞辐射会以随机的方式，从事件视界裡穿隧出来。他所推测的这种现象，现在称为霍金辐射（Hawking radiation）。
面积熵定律连结了量子力学、重力和统计力学，它的一项结果是黑洞必定包含了极大量的资讯。这个谜团由史聪闵格（Andrew Strominger）和瓦法（Cumrun Vafa）在1996年使用弦论的保角对称，而得到部分解决。他们数算黑洞的微观态（microstate），发现其与贝肯斯坦－霍金的面积熵定律吻合。自此之后，黑洞的量子面向激发了弦论相关数学的许多重大发展。
重访正质量定理
在证明孤立物理系统的正质量定理时，孙理察和我构造了许多可以满足局部质量非负的渐近平坦三维流形。我从霍金那儿得知这个构造：
已知一个紧致流形其保角不变算子具有正格林函数，则我们可以用格林函数的幂次来做度量的保角变换，如此就可以得到一个零纯量曲率的渐近平坦流形。
这个新三维流形的总质量可定义，而且与原格林函数在奇点的渐近展开式的常数项有关。根据孙理察和我所证出的正质量定理，这个质量必定是正的。孙理察很有效的运用这项事实来完成悬宕已久的山边猜想（Yamabe conjecture）的证明。山边英彦（Hidehiko Yamabe）的猜想是：
每一紧致流形均可保角变形成一个带有常纯量曲率的流形。
当孙理察和我证出正质量定理时，吉本斯（Gary Gibbons）和霍金正在发展他们的欧几里得重力理论（theory of Euclidean gravity）。他们需要知道其作用量是正的，换句话说，他们需要四维版本的正质量定理。
结果孙理察和我证明了这个定理，并且接着发展关于正纯量曲率流形结构的理论。我们发现可以对这种流形做几何余维等于3的手术（surgery）【注：「手术」是一个数学专有名词，可以经由特定的切除与拼接转换流形的拓朴型态。例如将球面挖去两的小圆盘，再接上一根圆柱面，就可以得一个环面（即轮胎面）】。格罗莫夫（Mikhail Gromov）、劳森（H. Blaine Lawson）、史托尔兹（Stephan Stolz）等人运用这点，给出至少在简单连通情形下，正纯量曲率流形的完整理解。
正质量猜想的证明还有许多其他方面的影响。
首先是一个黑洞的一般存在性定理的证明，其定理如下：在一个适当定义的固定半径的区域内，如果物质密度够大，就会形成适当质量的黑洞。在此情形下所形成的黑洞，与物质密度有关。另一方面，由于重力本身即具有能量，因此不需要物质也可能产生黑洞。我进一步考察包围这区域的曲面边界的效应。
最近，克里斯托杜娄提出了另一种利用聚焦效应的机制——重力波的脉冲。包括于品在内的一些人，循此思路做了后续的研究。
环箍猜想
再来还有黑洞存在性的环箍猜想（hoop conjecture），它说的是，如果一个闭曲面的准局部质量相对于曲面「周长」够大的话，则这个闭曲面将会塌陷成黑洞。黑洞的产生与消失会和彭罗斯的宇宙审查猜想紧密相关。这方面还需要更进一步的研究。
在彭罗斯思考宇宙审查猜想时，他设想了一个方法来给出反例。在此过程中，他发现对于渐近平坦时空，如果宇宙审查猜想是对的，则此孤立系统的总质量下界，将由黑洞事件视界面积的平方根乘以一个普适常数来决定。这个命题本身即饶有意趣。
为了研究这个猜想，葛洛克（Robert Geroch）提出了一种把事件视界移到无穷远的流，称为逆均曲率流（inverse mean curvature flow）。他发现在这个流上，一种称为霍金质量的物理量是单调递增的，而且当接近无穷远时，霍金质量将变成系统的总质量，而在事件视界时，霍金质量则是面积平方根的某个固定倍数。于是透过这个流连结事件视界与无穷远，就可以证明彭罗斯猜想。
还待证的问题是逆均曲率流的存在性。我建议休斯金（Gerhard Huisken）研究这个问题，他和伊尔曼尼（Tom Ilmanen）合作，在时空对某个类空截面是对时间对称情况下，得到一个弱解。布瑞（Hubert Bray）根据相同的假设，提出了另一个证明，他沿袭的是孙理察－丘成桐的论证。不过布瑞的证明允许黑洞有许多连通分支。
完整彭罗斯猜想还没得到完整的证明，尽管如此，这些成果仍对巴特尼克（Robert Bartnik）定义准局部质量的工作提供某种程度的支持。事实上，巴特尼克定义的极值度量（extremal metric）已证明存在，因此而且在某些特例下，巴特尼克质量是可以计算的。
结语
在探索古典广义相对论的过程中，我们运用并发展出深刻的几何和偏微分方程理论。另外如果将数值计算运用于相对论，在要理解极其复杂的现象例如黑洞碰撞时，并不如预期的有效，我们仍亟需理论的指引与几何的推导。
至于量子重力理论，这是一个极活跃的领域，从中已经发展出来许多数学，特别是算子代数、表示论、复几何的现代理论，不过目前的进展还远称不上完备。
可以想见，我们需要某种更适当版本的量子几何学。一般相信，爱因斯坦、波多斯基（Boris Podolsky）、罗森（Nathan Rosen）三人关于量子纠缠（quantum entanglement）的思想实验，对于理解极短距离的几何是有必要的。量子几何学的最终面貌犹未可知，它的发展或许得再花上五十年的光阴。虽然前方充满未知，但它必定是一段精采的旅程。
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