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上海文来初中奥数教练相伟老师创作甚勤, 对他的辛勤创作表示衷心感谢!——许康华，王仕奎
初中奥数讲座成功篇之4
n7 + 7为非完方数初等新解
上海文来初中陈石相伟
成功篇介绍:
笔者在平常数学教学中, 发现有许多同学不畏数学困难、勇于探索数学问题的事例. 当学生成功解决一道数学思考题时, 学生的数学才能得到了展现, 学生研究数学问题的兴趣得以激发, 同时, 学生的解题思路对老师的教学也有所启发, 这就是所谓的教学相长吧!成功篇主要介绍笔者在指导学生数学学习过程中, 学生研究数学问题成功的一些案例, 这些案例我会陆续写出来和大家一起分享, 一起体会学生数学解题成功的那一刻的喜悦!这些案例的解题思路可能不是最佳的, 但均来自教学第一线, 相信会对各位老师和学生有所帮助和启发, 也欢迎各位读者和本人交流互动, 共同进步!
陈石: 上海文来初中八年级学生, 喜欢钻研数学问题, 最近在研究数论相关问题.
相伟: 文来初中数学竞赛负责人, 热爱中学数学教学, 喜欢和大家讨论交流数学问题. 在日常 教学中, 特别关注数学资优生的发现和培养. 欢迎各位数学爱好者和我一起多讨论、多交流, 大家共同进步!
公众号8月29号《数论问题悬赏征解》一文中, 著名奥数教练严文兰老师悬赏人民币500元, 征求以下数论问题的初等证明, 要求采用不同于《奥赛经典——奥林匹克数学中的数论问题》中的证明方法, 也不能用代数数论和解析数论等高等方法.
问题: 证明n7 + 7不是完全平方数.
注: 此题是《奥赛经典——奥林匹克数学中的数论问题》一书中第八章平方数课后习题15, 同时也是2008年国家队集训培训试题, 书后解答见附录1.
我班上陈石同学对数学非常感兴趣, 这两天与我交流了对此题有一些想法, 我认为陈石同学的思路完全正确. 现由我将陈石同学的解答整理成文, 和大家一起分享学习.
证明: 首先给出一个引理.
引理: 对于t的多项式f(t) = ta + ba(a为大于1的奇数, b为正整数), 将f(t)分解成f(t) = (t + b)g(t),其中g(t)为整系数多项式. 则对于任意的正整数x, 若(x + b)与g(x)有公共素因子p, 则p必是a或b的素因子.
引理证明: 由带余除法, 设g(t) = (t + b)k(t) + m, 其中k(t)为t的整系数多项式, m为整数. 对f(t)求导, f’(t) = ata-1 = g(t) + (t + b)g’(t), 取t = -b, ∵g(-b) = m, a -1为偶数, ∴aba-1 = m, 从而g(t) = (t + b)k(t) + aba-1. 对于任意的正整数x, 若(x + b)与g(x)有公共素因子p, 则p|aba-1,从而p为是a或b的素因子.
引理证毕. 下面继续问题的证明.
假设n7 + 7 = x2, 其中x为正整数, 易知n为奇数(否则与x2≡0, 1(mod4)矛盾), 从而x为偶数.
由x2 = n7 + 7⇒x2 + 112= n7 + 27 = (n + 2)g(n). 由引理, 取a = 7, b = 2知: 若(n + 2)与g(n)有公共素因子p, 则p = 2或7. 而x2 + 112= n7 + 27无素因子2与7(n7 + 27为奇数, 故无素因子2; x2 + 112 ≡ 1, 4, 5, 6(mod7), 故无素因子7) , 因此(n + 2)与g(n)互素.
若q为n + 2的素因子, 则x2 + 112中q的次数与(n + 2)中q的次相同.
首先, ∵n为奇数, x为偶数, 由n7 + 7= x2知: 4|n7 + 7, ∴n ≡ 1(mod4), ∴n + 2 ≡ 3(mod4),故n + 2至少有一个形如4k + 3的素因子.
由高斯定理知, x2 + 112的每个形如4k + 3的素因子的次数为偶数, 从而n + 2的每个形如4k + 3的素因子的次数为偶数, 从而n + 2 ≡ 1(mod4).矛盾!
假设不成立, 故n7 + 7不是完全平方数.
点评: 陈石同学这个解答本质上跟《奥经》的是一样的, 只不过借助了更高级的结论, 所以更加简洁一点. 严文兰老师发布征解, 本意应该是寻求不同于加112的其他初等方法. 只要是加112, 本质上就是《奥经》的解答. 当然, 陈石的解法也有其独特的地方, 尤其是作为一个初中生给出的, 说明其知识面很广, 为陈石同学的探索精神点赞!
附录1: (奥赛经典书后参考答案)
附录2: 奥数教程(高三年级) 关于高斯定理的介绍.
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