“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用


文/许露丹(许兴华数学/选编)


【摘要】在数学教学过程中,以常见问题的求解与思考为例,通过一题多解、一题多变,逐步培养学生的思维能力。

【关键词】一题多解;一题多变;发散性思维。

数学,对于有一部分学生来说,要学好这门自然科学,并不是很容易的。有一部分学生对数学的印象就是乏味、枯燥、毫无兴趣可言。但为了中考或高考,又不得不硬撑着去学。

怎样才能学好数学呢?这就成了无数莘莘学子们最头疼的问题。常言道:熟能生巧。很多人认为要学好数学就是要多做练习题。于是,题海战术便受到相当一部分数学教师的青睐。一旦布置的作业多了,学生心里会越来越厌烦,于是乎就出现厌学、找他人代写、抄他人作业等现象。数学题是做不完的,要使学生学好数学,笔者认为还是要从提高学生的思维能力与学习的兴趣上狠下功夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣及思维能力。多做题目,固然可以使学生提高成绩,但长此以往,学生也会觉得数学越来越枯燥无味了。

笔者觉得要使学生学好数学,首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。数学题源于课本,高于课本,这是历年高考数学试卷命题所遵循的基本原则。在数学教学过程中,通过利用所有有用的条件,进行观察、联想、对比,采取“一题多解与一题多变”的形式进行教学,使学生们更积极主动地参与到课堂中来,这不仅能使学生的思维定势得到改观,还能极大程度地激发学生对数学学习的兴趣以及建立自信心,可以使所学的知识得到灵活运用,开阔思路,这对培养学生思维的广阔性、探索性、深刻性、独创性、灵活性无疑是一条非常有效的捷径。此外,能力提高的过程中,学生的成就感也就自然而然地增强,并且在不断的变化和解决问题的诸多途径中,学习兴趣会越来越浓。

随着素质教育的层层深入,培养学生分析问题、解决问题的能力显得尤为重要。而能力的提高必须依靠重要方式方法,“一题多解与一题多变”可以很好地培养学生的思维与解题能力,起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。一题多解是从不同的方位、不同的角度去审视分析问题,是一种发散思维。而一题多变则是创造性思维的体现,通过题设、结论的变化及引申新问题让学生对知识的理解更深刻。在教学中,使用一题多解与一题多变的形式,不仅可以渗透、活化所学的知识,而且可以开阔思路,培养学生的发散、创新思维能力,收到讲好一题,带活一片的效果。

在复习训练阶段,根据教学目的和学生的实际情况,精心选择、加工和编写“一题多变”、“一题多解”的习题,进行复习训练,不仅能调动学生的复习兴趣,发挥学生作为复习主体的功能,提高复习效率和效果,而且能培养学生联想迁移、概括总结和发散思维等能力。只有对数学方法融会贯通时,才能有新看法、巧妙解法。

一题多变和一题多解可以提高学生的数学学习效率。一道数学练习题,因为思考问题的角度不同而得到多种的思路,广泛寻求多种解法,有助于拓宽解题思路,发展学生的思维能力,提高学生分析问题的能力。一题多变,对一道数学题联想、类比到推广,可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论。积极开展多种变式题的求解,有助于学生应变能力的养成,培养学生的发散思维,增强学生面对新问题敢于联想分析敢于创新,最后快速解决数学问题。

下面分别举两例进行一题多解和一题多变来说明:

评注:考虑常用方法,通过运用等差数列的公式来解决此题。让学生通过运用公式来达到记忆公式的目的。老师上课需要多次强调,对于加强学生记忆的作用非常强大。要学好数学,就必须熟练的运用公式。

评注:可找转折项来求解此题.此种解法运用了等差中项的性质,能够较快的得出答案,加强了学生对数列知识的综合运用能力。活化了公式,防止学生对知识的死记硬背,以此达到复习巩固的目的。

评注:利用二次函数求解.函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系,往往通过观察图象就可以看出最大值和最小值。解决函数的最值问题,我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正或负值或零。而它后面的各项皆取负或正值,则从第1项起到该项的各项的和为最大或最小。

通过一题多解的教学活动激励学生联想、猜想方面讨论来逐步培养学生数学的发散性思维,从而提高课堂教学效率。 数学的复习旨在全面系统地巩固基础知识,进一步提高学生的分析能力和解决问题的能力。


对于一道题的分析,因考虑的角度不同,而得到不同的解法及解题依据,这是一题多解的特点,从而对基础知识有效地复习,在解题过程中激发思维火花,培养了学生探索问题的能力和解决问题的能力。在复习课中,精选精讲例题,以题带知识点和解题技巧。

“一题多解”对于培养学生创新精神与探究能力大有益处。而培养学生创新精神与探究能力是新课程的目标之一。但是一题多解的最终目的是要寻找一种最优、最简便的方法,也就是说,掌握“一题多解”的目的是为了拓广思维力度,还能起到一个复习各种知识,事半功倍地提高解题能力的目的。从上例中,我们可以看到数学思想方法的多样性。


从对“一题多解”的探讨,我们还可联想到教学中的一题多问和一题多变。一题多问的主要目的是培养学生全面地看待问题。例如,在做选择题时,学生往往匆忙找出与题干相符的答案就完事大吉,对其他备选答案不大关心,这样的学习效果往往是单一的。对学习者乃至教学者而言这是远远不够的,因为其他备选答案为什么不对,错在什么地方,是与题干要求不符,还是本身知识的叙述错误或以前自己就对这方面的内容存在着认识和理解的误区。学生在做题或教师在讲评时,如能放开手脚,从备选答案中把所学知识都联系起来,既讲正确的,也讲其他答案的错误原因之所在;既讲题目所涉及的内容,又要通过相近、相似知识的对比,对所学知识有一个全面复习和巩固。同样的道理,教师在选取典型例题讲解时,也要全方位地进行剖析,不仅要诱导学生来分析解决问题,给出解题思路和策略,更要指出常见错误及产生原因,对命题的意图、题目的关键词等方面也要作出点评。要让学生知其然,更知其所以然。教学中要善于以典型例题为原型,导出同类的题型,把它们集中在一起,对其题目的立意、解题思路、解题策略和易产生的误区等归纳总结,形成一个共同的认知体系。这可以使我们由一个知识点的一个侧面考核变为多个方面的考核,变单一知识点的考查为多个知识点的考查,以一题的解答达到多题的学习效果。

从“一题多解”到“一题多问、一题多变”,反映出对教学认识和观念的差异,是重形式还是重实质,是看过程还是看目的,是侧重知识的机械记忆,还是着眼于培养学生的学习与思维能力。下面我们再来看一下“一题多变”。

3:从6人中分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有多少种?

评注:对于同一数学问题,从不同的角度进行分析处理往往会导出许多不同的解法,引导学生用多种思路解题,既能使学生灵活地运用知识和思路,形成立体的思维网络;又能通过比较选择最合理、最简捷的思路,培养思维的灵活性。下面展示本题的变式和推广。

变式1:有六种不同工作分配给6人担任,每个人只担任一种工作,且甲不能担任其中某两种工作,则选派方案共有多少种?

变式2:从6人中选择4人去参加数学、物理、化学、外语四科竞赛,要求每科竞赛只有1人参加,每人也只参加一科竞赛,且这6人中甲、乙两人不参加外语竞赛,则不同的选择方案共有多少种?


经过学生讨论、交流,教师点拨,让学生发现:通过以上变式题的五种解法的讨论,巩固了所学过的知识,突破了本节课的重点,不但达到了认知目标,而且还有利于培养学生思维的广阔性、变通性、创造性,锻炼了学生的发散思维,这样也达到了本节课的能力目标。让学生比较哪种方法简练,并对学生想出第五种方法给予高度评价,使学生拥有成功的喜悦,享受到数学思路的创新美,借此调动学生深钻多思的学习积极性,在某种意义上达到该节课的情感目标。一题多解是培养学生发散性思维的常用而有效的方法,遵循发散性思维的规律,遵循学生的认识规律,是在学生形成理性认识的基础上的第二次实践活动,是课堂教学的一次重要反馈。

这是一个由特殊性逐步一般化的思维过程,加强了学生思维能力的培养,通过这样一系列的一题多解和一题多变,培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力,渗透了一些数学方法,体现了一些数学思想,也提供了一个由特殊推向一般性的结论。

在数学教学中,若将经典例题充分挖掘,注重对例题进行教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力;不仅能让教师对例题的研究更加深入,对教学目标和要求的把握更加准确,同时也让学生逐渐体会到数学学习的乐趣,数学思维能力得到进一步提高。当然,在新课的教学中有些方法所用的知识,学生还未学到,此时,我们可从中挑选学生学过的知识。若巧用典型题的一题多解与一题多变,加深对各章节基础知识的理解,又开拓学生思路,有效地培养学生的解题能力,提高学生的数学素质,从而提高整体教学效果。其他方法可在今后的总复习中给出。

在数学习题教学中,一题多变也得循序渐进,步子要适宜,变得自然流畅,使学生的思维得到充分发散,而又不感到突然。总之,在数学习题教学中,选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题。采用一题多解与一题多变的形式进行教学,有助于启发学生分析思考,逐步把学生引入佳境,从而使学生开拓知识视野,增强获取知识的能力,发展创新思维,同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径,找到解决问题的要害,这是培养学生提高学习能力的根本所在。举一个最简单的例子,在解决多个相同数相加时,乘法的应用就是一个捷径,假如这时仍有学生用机械的加法来做,你会怎么想呢?因此,教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题,更要善于帮助引导他们总结归纳问题,使其认知水平逐步提高。数学反思环节是提高数学能力的一条捷径,有了反思要求,就不会出现一味反复操练的盲目性,有了反思,就会既见树木,又见森林,就很容易把数学过程抽象化,而不只是把数学看作就是一些过程,一些细枝末节。有了反思,就不停留在把过程、法则,当作无意义的符号游戏的认识上,有了反思,使学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上,知道还有更重要的东西要学,那就是数学语言的学习,数学思维方法的掌握。 

     有很多数学问题都有不同的解答方法,并且随着不断学习,知识的增加,解答同一问题的方法也会越来越多。反思在于不断增强反思的意识,掌握反思问题的一些方法,培养反思问题的习惯,从而发展思维。对数学问题多种方法的探究不是单纯为了凑解题方法的数目,而是通过不同的观察侧面,思维触角伸向不同方向,不同层次,发展发散思维能力,为将来会学数学,学好数学奠定基础。

     一题多变是通过题目的引申、变化、发散,提供问题的背景,提示问题间的逻辑关系。新课中,可以以简单题入手由浅入深,使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。在习题课中,把较难题改成多变题目,让学生找到突破口,对难题也产生兴趣。同时要尝试学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变,对知识进行重组,自己将题目中的问题或某一条件进行改变,对已学知识进行重组,探索出新知识,解决新问题。不就题论题,能多思多变。一法多用,目的则是求得应用范围的变化。一题多解是多角度地考虑同一个问题,找出各方法之间的关系和优劣。

     改变题目的条件会导出什么新结论,保留题目的条件,结论能否进一步加强,条件做类似变换,结论能扩大到一般,等等,像这样富有创造性的全方位思考,常常是发现新知识、认识新知识的突破口。通过这种反思,由一题多变,侧重训练了思维递进性;由多题一解,侧重训练思维的深刻性;由条件和结论的换位,侧重训练思维的变通性;由多向探索,侧重训练思维的广阔性。掌握一类题型的解法,可以达到事半功倍的效果。

     解完一道题目后,不妨深思一下解题程序,有时会突然发现:这种解决问题的思维模式,竟然体现了一种非常重要的数学思想方法,它对解决一类问题大有帮助。

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