数列的
函数理解。
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其
定义域和
值域上。数列可以看作一个“定义域为正
整数集N*或其有限
子集{1，2，3，…，n}"的函数，其中的”{1，2，3，…，n“不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项
公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有
通项公式。
数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，a（n+1），…
简记为{an}，
项数有限的数列为“
有穷数列”（finite sequence），
项数无限的数列为“
无穷数列”（infinite sequence）。
数列的各项都是正数为正项数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做
递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做
递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做
摆动数列 各项呈周期性变化的数列叫做
周期数列（如三角函数） 各项相等的数列叫做
常数列。如：2，2，2，2，2，2，2，2，2
通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。（注：通项公式不唯一）
递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
递推公式。
数列中数的总数为数列的
项数。特别地，数列可以看成以
正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).
并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。
数列中的项必须是数，它可以是
实数，也可以是
复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”
集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的
元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有通项公式
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
数列递推公式的特点：（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有递推公式
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数，这个数列就叫做
等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的
公差（common difference），公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。
缩写
等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的
等差中项（arithmetic mean）。
有关系：A=（a+b）/2
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
固 Sn=n(a1+an)/2
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的
定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。
和=（首项+末项）×项数÷2
项数=（末项-首项）÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
应用
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
其于
数学的中的应用，可举例：
快
速算出从23到132之间6的整
倍数有多少个
算法不止一种，这里介绍用数列算
令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,;
于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做
等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的
公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
缩写
等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的
等比中项。
有关系：G^2=ab；G=±(ab)^(1/2)
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为
相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
性质
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为
正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做
指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：
银行有一种支付
利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作
自变量n的函数，点(n,an)是
曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同
底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
定义
“
等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列
性质
必定是循环数列
练习
1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数），任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=？ x，2，（），（），（），4，（），y，（），（），z
2．（2004年
湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 圆周上放着120个正数（不一定是整数），今知其中任何相连的35个数的和都是200．
证明：这些数中的每一个数都不超过30．（旁注：题目中“相连”即“相临”之意） 答案： 第1题 ： x=14,y=2,z=2 ， 故： x+y+z=18 ； 第2题 ： （120,35）=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/7<30 所以每一个数都不超过30。列的通项求法
an=Sn-Sn-1 （n≥2）
累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
逐商全
乘法（对于后一项与前一项商中含有
未知数的数列）。
化归法（将数列变形，使原数列的
倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差数列，同样在等比数列中。三者成等比数列
不动点法（常用于
分式的通项递推关系）
不动点法求数列通项
对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求
不动点法求数列通项公式的证明
幂次数列表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 8 16 32 64 128 256512 1024
3 3 9 27 81 243 729
4 4 16 64 2561024
5 5 25 125 625
6 6 36 2161296
编辑本段特殊数列的通项的写法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[（10^n)-1]*n/9,n为1-9的整数
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
编辑本段数列前N项和公式的求法
(一)1.等差数列：
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
ak=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列的前n项和为Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法： 1,
不完全归纳法 2 累加法 3
倒序相加法 (二)1.等比数列:
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项，an为第n项
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项，则G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
2.等比数列前n项和
设 a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注： q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下5个方法： 1,完全归纳法（即
数学归纳法） 2 累乘法 3
错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法
等差数列典型例题：
1/(1x(
1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
解析：
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
大衍数列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通项式： an=(n×n－1)÷2 (n为奇数)
an=n×n÷2 (n为
偶数)
前n项和公式： Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数）
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数）
大衍数列来源于《
乾坤谱》，用于生原理。
斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
递推公式为：F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
通项式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
这样一个完全是
自然数的数列，通项公式居然是用
无理数来表达的。
还可以发现 F(n-1)*F(n+1)=F(n)^2-1 （n为奇数，且n>2）
F(n-1)*F(n+1)=F(n)^2+1 （n为偶数，且n>1）
