高考数学热门考点：等比数列及其前n项和

昨天我们讲了等差数列及其前n项和的相关知识内容，那么今天我们就继续讲解数列另一块重要知识内容，也就是等比数列及其前n项的和。

等比数列可以说是数列的核心内容，自然也是高考必考的知识点之一。在高考数学中，跟等比数列相关的主要考点有：等比数列的基本运算与通项公式；等比数列的性质；等比数列的前n项和；等比数列的综合应用等等。

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比。

关注等比数列和等差数列之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广。对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算。

今天，我就简单讲讲等比数列及其前n项和相关知识内容。

什么是等比数列？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an＝q(n∈N*，q为非零常数)．

有等差中项，同样也有等比中项。一般地，如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

从这里我们就可以看出，等比数列具有以下两个明显特征：

1、从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数。

2、由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。

我们就可以通过等比数列的概念和特征，得到等比数列的判定方法：

1、定义法：若an+1/an＝q(q为非零常数，n∈N*)或an/an-1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．

2、等比中项法：若数列{an}中，an≠0且an＋12＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

3、通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

同时我们还需要掌握等比数列两个非常重要的公式：

1、通项公式：an＝a1qn－1.

2、前n项和公式：Sn＝na1，q=1或Sn＝a1(1-qn)/1-q=(a1-anq)/1-q，q≠1.

典型例题1：

运用等比数列的前n项和Sn公式去解决问题，要注意以下两个方面：

1、等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

2、在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

同时我们要谨记一些等比数列{an}的常用性质：

1、在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝ar2.

特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….

2、在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；

数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；an＝amqn－m.

典型例题2：

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．