证明比例式或等积式的方法技巧

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证比例式或等积式的技巧

名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行

线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可

尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证

这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

构造平行线法 1．如图，在△ABC 中，D 为 AB 的中点，DF 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，

求证：AE·CF＝BF·EC.

2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 AD＝

CE，DE 交 AC 于点 F，

求证：AB·DF＝BC·EF.

三点定型法

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3．如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.

求证： ＝ . DCAE

CFAD

4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长线于

D，交 AB 于 E.

求证：AM2＝MD·ME.

构造相似三角形法

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5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交

AB，AC 于点 M，N.

求证：BP·CP＝BM·CN.

等比过渡法 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE∥BC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，

且∠EDF＝∠ABE.

求证：(1)△DEF∽△BDE；

(2)DG·DF＝DB·EF.

7．如图，CE 是 Rt△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P，连接 AP，作

BG⊥AP 于点 G，交 CE 于点 D.

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求证：CE2＝DE·PE.

两次相似法 8．如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交

AD 于 F.

求证： ＝ . BFBE

ABBC

9．如图，在▱ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为 M，N.求证：

(1)△AMB∽△AND；

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(2) ＝ . AMAB

MNAC

等积代换法 10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F.

求证： ＝ . AEAF

ACAB

等线段代换法 11．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 AD 上一点，

CF∥AB，延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 于点 F，

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求证：BP2＝PE·PF.

12．如图，已知 AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 EP 交 BC 的延长线于点 P.

求证：PD2＝PB·PC.

参考答案

1．证明：如图，过点 C 作 CM∥AB 交 DF 于点 M.

∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.

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∴ ＝ . BFCF

BDCM

又∵CM∥AD，

∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.

∴△ADE∽△CME.∴ ＝ . AEEC

ADCM

∵D 为 AB 的中点，∴BD＝AD.

∴ ＝ .∴ ＝ . BDCM

ADCM

BFCF

AEEC

即 AE·CF＝BF·EC.

2．证明：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，

易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.

∴ ＝ ， ＝ . EFDF

CEDG

ABBC

ADDG

∵AD＝CE，∴ ＝ .∴ ＝ . CEDG

ADDG

ABBC

EFDF

即 AB·DF＝BC·EF.

点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线

段的比，从而解决问题．

3．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AE∥DC，∠A＝∠C.

∴∠CDF＝∠E.

∴△FCD∽△DAE.∴ ＝ . DCAE

CFAD

4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.

∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.

又∵M 为 BC 的中点，∠BAC＝90°，

∴BM＝AM.

∴∠B＝∠BAM.

∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.

又∵∠AME＝∠DMA.

∴△AME∽△DMA.

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∴ ＝ .即 AM2＝MD·ME. AMMD

MEAM

5．证明：如图，连接 PM，PN.

∵MN 是 AP 的垂直平分线，

∴MA＝MP，

NA＝NP.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵△ABC 是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.

∴∠2＋∠4＝60°.

∴∠5＋∠6＝120°.

又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，

∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴ ＝ .即 BP·CP＝BM·CN. BPCN

BMCP

6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，

∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.

又∵∠EDF＝∠DBE，

∴△DEF∽△BDE.

(2)由△DEF∽△BDE 得 ＝ .即 DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝DEBD

EFDE

∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.

∴ ＝ .即 DE2＝DG·DF. DGDE

DEDF

∴DG·DF＝DB·EF.

7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，

∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.

∴∠P＋∠PAB＝90°，

∠PAB＋∠ABG＝90°.

∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.

∴ ＝ .即 AE·BE＝PE·DE. AEDE

PEBE

又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，

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∴∠CAB＋∠ACE＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBE＝90°.

∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

∴ ＝ .即 CE2＝AE·BE. AECE

CEBE

∴CE2＝DE·PE.

8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.

∵BE 平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.

∴△BDF∽△BAE.∴ ＝ . BDAB

BFBE

∵∠BAC＝∠BDA＝90°，

∠ABC＝∠DBA.

∴△ABC∽△DBA.∴ ＝ . ABBC

BDAB

∴ ＝ . BFBE

ABBC

9．证明：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥CD，

∴∠AMB＝∠AND＝90°.

∴△AMB∽△AND.

(2)由△AMB∽△AND 得 ＝ ，∠BAM＝∠DAN. AMAN

ABAD

又 AD＝BC，∴ ＝ . AMAN

ABBC

∵AM⊥BC，AD∥BC，

∴∠MAD＝∠AMB＝90°.

∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.

∴△AMN∽△BAC.∴ ＝ . AMAB

MNAC

10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AED＝90°.

又∵∠BAD＝∠DAE，

∴△ABD∽△ADE.

∴ ＝ .即 AD2＝AE·AB. ADAB

AEAD

同理可得 AD2＝AF·AC.

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∴AE·AB＝AF·AC.∴ ＝ . AEAF

ACAB

11．证明：连接 PC，如图所示．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD 垂直平分 BC，∠ABC＝∠ACB.

∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.

∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，

即∠3＝∠4.

∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.

又∵∠CPF＝∠CPE，

∴△CPF∽△EPC.

∴ ＝ ，即 CP2＝PF·PE. CPPE

PFCP

∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.

12．证明：如图，连接 PA，

∵EP 是 AD 的垂直平分线，

∴PA＝PD.

∴∠PDA＝∠PAD.

∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.

又∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.

又∵∠APC＝∠BPA，

∴△PAC∽△PBA.∴ ＝ . PAPB

PCPA

即 PA2＝PB·PC.

∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.