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证明比例式或等积式的方法技巧

- 1 -

证比例式或等积式的技巧

名师点金:证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行

线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可

尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证

这两个三角形相似,若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换.

构造平行线法 1.如图,在△ABC 中,D 为 AB 的中点,DF 交 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F,

求证:AE·CF=BF·EC.

2.如图,已知△ABC 的边 AB 上有一点 D,边 BC 的延长线上有一点 E,且 AD=

CE,DE 交 AC 于点 F,

求证:AB·DF=BC·EF.

三点定型法

- 2 -

3.如图,在▱ABCD 中,E 是 AB 延长线上的一点,DE 交 BC 于 F.

求证: = . DCAE

CFAD

4.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,M 为 BC 的中点,DM⊥BC 交 CA 的延长线于

D,交 AB 于 E.

求证:AM2=MD·ME.

构造相似三角形法

- 3 -

5.如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 是 BC 边上任意一点,AP 的垂直平分线分别交

AB,AC 于点 M,N.

求证:BP·CP=BM·CN.

等比过渡法 6.如图,在△ABC 中,AB=AC,DE∥BC,点 F 在边 AC 上,DF 与 BE 相交于点 G,

且∠EDF=∠ABE.

求证:(1)△DEF∽△BDE;

(2)DG·DF=DB·EF.

7.如图,CE 是 Rt△ABC 斜边上的高,在 EC 的延长线上任取一点 P,连接 AP,作

BG⊥AP 于点 G,交 CE 于点 D.

- 4 -

求证:CE2=DE·PE.

两次相似法 8.如图,在 Rt△ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E,交

AD 于 F.

求证: = . BFBE

ABBC

9.如图,在▱ABCD 中,AM⊥BC,AN⊥CD,垂足分别为 M,N.求证:

(1)△AMB∽△AND;

- 5 -

(2) = . AMAB

MNAC

等积代换法 10.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.

求证: = . AEAF

ACAB

等线段代换法 11.如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,点 P 是 AD 上一点,

CF∥AB,延长 BP 交 AC 于点 E,交 CF 于点 F,

- 6 -

求证:BP2=PE·PF.

12.如图,已知 AD 平分∠BAC,AD 的垂直平分线 EP 交 BC 的延长线于点 P.

求证:PD2=PB·PC.

参考答案

1.证明:如图,过点 C 作 CM∥AB 交 DF 于点 M.

∵CM∥AB,∴∠FCM=∠B,∠FMC=∠FDB.∴△CMF∽△BDF.

- 7 -

∴ = . BFCF

BDCM

又∵CM∥AD,

∴∠A=∠ECM,∠ADE=∠CME.

∴△ADE∽△CME.∴ = . AEEC

ADCM

∵D 为 AB 的中点,∴BD=AD.

∴ = .∴ = . BDCM

ADCM

BFCF

AEEC

即 AE·CF=BF·EC.

2.证明:过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,

易知△DGF∽△ECF,△ADG∽△ABC.

∴ = , = . EFDF

CEDG

ABBC

ADDG

∵AD=CE,∴ = .∴ = . CEDG

ADDG

ABBC

EFDF

即 AB·DF=BC·EF.

点拨:过某一点作平行线,构造出“A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线

段的比,从而解决问题.

3.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,

∴AE∥DC,∠A=∠C.

∴∠CDF=∠E.

∴△FCD∽△DAE.∴ = . DCAE

CFAD

4.证明:∵DM⊥BC,∠BAC=90°,

∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°.

∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D.

又∵M 为 BC 的中点,∠BAC=90°,

∴BM=AM.

∴∠B=∠BAM.

∴∠BAM=∠D.即∠EAM=∠D.

又∵∠AME=∠DMA.

∴△AME∽△DMA.

- 8 -

∴ = .即 AM2=MD·ME. AMMD

MEAM

5.证明:如图,连接 PM,PN.

∵MN 是 AP 的垂直平分线,

∴MA=MP,

NA=NP.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

又∵△ABC 是等边三角形,

∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°.

∴∠2+∠4=60°.

∴∠5+∠6=120°.

又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°,

∴∠5=∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴ = .即 BP·CP=BM·CN. BPCN

BMCP

6.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE∥BC,

∴∠ABC+∠EDB=180°,∠ACB+∠FED=180°.∴∠FED=∠EDB.

又∵∠EDF=∠DBE,

∴△DEF∽△BDE.

(2)由△DEF∽△BDE 得 = .即 DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠GED=DEBD

EFDE

∠EFD.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.

∴ = .即 DE2=DG·DF. DGDE

DEDF

∴DG·DF=DB·EF.

7.证明:∵BG⊥AP,PE⊥AB,

∴∠AEP=∠DEB=∠AGB=90°.

∴∠P+∠PAB=90°,

∠PAB+∠ABG=90°.

∴∠P=∠ABG.∴△AEP∽△DEB.

∴ = .即 AE·BE=PE·DE. AEDE

PEBE

又∵∠CEA=∠BEC=90°,

- 9 -

∴∠CAB+∠ACE=90°.

又∵∠ACB=90°,

∴∠CAB+∠CBE=90°.

∴∠ACE=∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

∴ = .即 CE2=AE·BE. AECE

CEBE

∴CE2=DE·PE.

8.证明:由题意得∠BDF=∠BAE=90°.

∵BE 平分∠ABC,∴∠DBF=∠ABE.

∴△BDF∽△BAE.∴ = . BDAB

BFBE

∵∠BAC=∠BDA=90°,

∠ABC=∠DBA.

∴△ABC∽△DBA.∴ = . ABBC

BDAB

∴ = . BFBE

ABBC

9.证明:(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴∠B=∠D.

∵AM⊥BC,AN⊥CD,

∴∠AMB=∠AND=90°.

∴△AMB∽△AND.

(2)由△AMB∽△AND 得 = ,∠BAM=∠DAN. AMAN

ABAD

又 AD=BC,∴ = . AMAN

ABBC

∵AM⊥BC,AD∥BC,

∴∠MAD=∠AMB=90°.

∴∠B+∠BAM=∠MAN+∠NAD=90°.∴∠B=∠MAN.

∴△AMN∽△BAC.∴ = . AMAB

MNAC

10.证明:∵AD⊥BC,DE⊥AB,

∴∠ADB=∠AED=90°.

又∵∠BAD=∠DAE,

∴△ABD∽△ADE.

∴ = .即 AD2=AE·AB. ADAB

AEAD

同理可得 AD2=AF·AC.

- 10 -

∴AE·AB=AF·AC.∴ = . AEAF

ACAB

11.证明:连接 PC,如图所示.

∵AB=AC,AD⊥BC,

∴AD 垂直平分 BC,∠ABC=∠ACB.

∴BP=CP.∴∠1=∠2.

∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,

即∠3=∠4.

∵CF∥AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.

又∵∠CPF=∠CPE,

∴△CPF∽△EPC.

∴ = ,即 CP2=PF·PE. CPPE

PFCP

∵BP=CP,∴BP2=PE·PF.

12.证明:如图,连接 PA,

∵EP 是 AD 的垂直平分线,

∴PA=PD.

∴∠PDA=∠PAD.

∴∠B+∠BAD=∠DAC+∠CAP.

又∵AD 平分∠BAC,

∴∠BAD=∠DAC.∴∠B=∠CAP.

又∵∠APC=∠BPA,

∴△PAC∽△PBA.∴ = . PAPB

PCPA

即 PA2=PB·PC.

∵PA=PD,∴PD2=PB·PC.

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