——对“函数的奇偶性”的教学改进及反思
高洪武（浙江省温州市第二十二中学）
摘要: “函数的奇偶性”教学应充分利用学生在“单调性”学习中积累的经验.从图象观察入手，在适当的认知冲突中引入课题，采取归纳和类比等手段进行探究。学生在习得知识的同时，也掌握了问题研究的方法.通过动手实验，学生在亲自操作与内省思辨中自发领悟新知内涵，从而实现概念的自然生成.
关键词：函数奇偶性；教学设计；概念生成
奇偶性是继单调性之后,函数的又一重要性质.它从形的角度刻画了函数图象的对称性，从数的角度刻画了自变量互为相反数时函数值的变化规律.研究函数的奇偶性，可以方便地达到由局部研究整体的目的.基于此，笔者所在的备课组就该课进行了一次听评课活动. 活动从一位青年教师执教该课开始，课后备课组对该课进行了热烈讨论，综合大家的意见与建议，笔者进行二次授课，收到了较好效果.本文则是对该过程的整理与反思，敬请广大同仁指正.
师：在生活中，有很多轴对称图形(如图1~图3)，在数学中，也有很多函数，其图象关于一条直线对称.请大家思考，以前学过的函数中，有没有图象关于y轴对称的？
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二、评课意见
课后，组内教师对此课进行了研讨.大家认为，本课设计从生活中的对称现象入手，引出函数图象对称的话题，经历“图象直观—特殊点尝试—得出猜想—般性验证”等环节，比较自然地得出了偶函数的定义.然后放手试图让学生通过类比推理，得出奇函数的概念.教学的整个思路是比较清楚的.
但该教学设计对为什么要呈现表1？表1的呈现与图象的对称性有什么关联？为什么要从解析式的角度研究函数图象的对称性？这些问题必要性交代得不够.没有认知冲突的建构，学生对新知需求的迫切感就很难激发出来.整个教学过程，学生被教师牵着走的成分太多.
由于偶函数的概念只是从函数
的填表中抽象而成的，教师没有给出从解析式角度研究图象对称的方法上的指导，从而导致学生自主探究奇函数定义时所用的类比推理成为方法上的无源之水.教师强拉着学生沿着其指定的步骤进行伪自主探究.学生对函数奇偶性的代数内涵及几何意义的理解是只知其然，并不知其所以然.
事实上，学生对轴对称图形和中心对称图形的定义是比较清楚的.同时，函数单调性的学习经历也帮助学生积累了一定的函数性质的研究经验。因此可以从生活中存在的变化现象入手，引出函数图象变化特征，再引出从代数角度精确地刻画函数图象这种变化规律，最后给出函数相关性质的代数定义.
大家一致认为，本课的设计应充分类比函数单调性的研究方法.基于对图象变化规律的观察，自然地引出研究的话题；通过合理构造从形认识上的认知冲突，引出代数研究的必要性；立足学生对轴对称图形与中心对称图形的认知积累，自然地建构概念的代数内涵.
三、改进授课
1．话题引入
师：前面我们学习了刻画函数图象升降变化规律的性质，即单调性.今天我们将从对称的角度继续研究函数的性质.我们知道，对称现象是生活中普遍存在且形式优美的一种变化现象.图1~图3中的图象，都是对称的，而且都是轴对称图形.那么，什么是轴对称图形呢？
生1：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
师：我们知道，圆是轴对称图形，利用这种对称性，如果我们要做一个圆形的纸片，只需将纸张对折，从轴上某点开始，剪一个半圆形的图案即可.对称性在剪纸艺术中运用得非常广泛.
事实上，在我们学过的函数中，有大量的函数图象是对称的.研究这种对称性，对我们更全面了解函数，利用函数来更好地刻画运动变化规律是大有裨益的.
【设计说明】函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律.从生活中的对称现象入手研究函数的奇偶性，一来拉进了数学与生活的距离，二来拉近了与学生认知基础的距离.另外，剪纸艺术中圆形图案制作方法的介绍，也在一定程度上揭示了研究函数对称变化规律的必要性.
2．概念生成
问题1：观察图4和图5两个函数的图象，从对称角度看，其有什么共同特点?
实验操作(教师引导学生一起动手实验，以同桌为一组合作探究) .
第1步：教师呈现1张用电脑制作好的关于y轴对称的函数图象（如图6）.
生5：它们都关于坐标原点中心对称.
师：什么是中心对称图形？
生6：如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形.
问题9： 类比偶函数定义的得出过程，试从代数角度刻画图象关于坐标原点对称的函数.
【设计说明】奇函数只是一个名称，本质是对函数图象关于原点对称的代数刻画，此处不宜先提奇函数概念.由于前面学生经历了图象关于y轴对称的代数刻画的全过程，故此时的放手是恰当的，同时可检验学生对前面研究方法的领悟程度，亦可培养学生的创造性思维能力.
本课记录到此，后续环节不涉及论述主题，略去.
四、授后反思
1．立足学生的认知基础，从学生熟悉的情境中自然引出新话题
奥苏贝尔指出，影响学习的唯一的，也是最重要的因素是学生已经知道了什么.因此，学生现有的数学认知结构是启发式教学的出发点.
学生在初中已经学习过图形对称的知识，“函数单调性”的学习也让学生积累了一些函数性质研究的方法与经验.基于学生这样的认知基础，改进后的教学设计充分类比了“函数的单调性”的研究思路。
（1）函数的单调性研究思路。
生活中的升降现象—函数图象的升降—直观观察的不足，引出代数研究—特殊点尝试—一般形式化定义.
（2）函数的奇偶性研究思路。
生活中的对称现象—函数图象的对称—直观观察的不足，引出代数研究—特殊点尝试—一般形式化定义.
改进后的整个学习流程都是学生比较熟悉的，从而减少了学生对新知学习的惶恐感，使得课的推进更加自然流畅.
2．合理设置认知冲突，在学生愤悱之时自然引出新方法
改进后的教学在为什么要从代数的角度研究图象的对称性以及如何自然地引出奇函数和偶函数的定义等方面，都设置了恰当的认知冲突.
面对函数图象，大多数学生都能从直觉上判断其是否对称.但教师并没有顺水推舟，而是不依不饶.图象为什么对称？为什么沿着一条直线对折之后，直线两侧图象就能完全重合？这些问题将学生的思维带进了一种愤悱状态.这样一来，教师把思考与探究的主动权完全交给了学生，有效地提高了学生学习新知的积极性.在学生思考、解决问题的过程中，一些新概念呼之欲出，其内涵也潜移默化地进入了学生的大脑.
3．创设恰当活动情境，在实验操作中自然生成新概念
美国教育家苏娜丹戴克认为，告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我参加，我就会完全理解.课堂教学中，可以恰当地创设一些活动情境，让学生参与进来，学生参与活动的过程其实也是帮助学生体验概念形成的过程.
改进后的授课从学生熟悉的对称现象入手，通过折纸实验，让学生不断丰富对从代数角度刻画函数图象对称性理解（这一个过程也就是奇函数和偶函数代数定义的生成过程）。
正是由于在偶函数概念生成上做足了过程，学生较好地掌握了用数来刻画形的一般方法，故接下来奇函数定义的自主探究也就自然顺畅的多.
4．创造性使用教材，让新知识的理解与内化更加自然无痕
改进后的教学设计跟教材相比，有一定的调整与拓展.我们应该树立一个意识，即教材只是帮助教师引领学生学习新知的载体之一，这个载体汇集了数学教育专家的集体智慧，但它不是绝对和唯一的.教师作为教学一线的工作者，最熟悉自己学生的认知基础，也最了解学生对新知理解的薄弱点和困惑点.这个时候，我们应在保证所教内容科学性的大前提条件下，灵活及创造性地处理教材，让教材更好地为教学服务.本课的设计立足学生认知基础，充分关注学生认知困惑，引导学生从熟悉情境入手，通过恰当的问题和折纸实验的创设，一步一步突破认知障碍，在掌握知识的同时，更领悟了处理问题的方法.
参考文献
[1] 严士健，张奠宙. 普通高中数学课程标准解读[M]. 南京:江苏教育出版社，2004.
[2] 章建跃．方程的根与函数的零点的教学[J]. 中国数学教育(高中版)，2012(1/2)：16-18．
[3] 高洪武. 基于自然高效的数学概念课设计[J]. 中小学数学，2013(1)：8-12.
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