生无可恋的高数课堂

叮铃铃......

高数第一堂课. 映射与函数，20多页，老师45分钟就讲完了，完全懵逼了，有木有~

更有甚者，如果老师高估了学生的自学能力，而直接从数列的极限开始讲授，势必把学生一下子给带坑里去了。。。

从此，这个世界真的生无可恋，死亦无对证！

映射与函数还好办，毕竟这部分内容是高中接触过的. 能走进象牙塔，课后花点时间，理解这部分内容应该不存在智商的问题.

可是，到了数列的极限，绝大部分同学直接就晕了，开始严重怀疑自己的智商. 然后就各种爆粗口，你妹这么丑陋难懂的

语言是谁弄出来的，你丫给我站出来，看我不被你整死.

那么，极限真有那么困难吗？

微积分诞生于17世纪70年代，不论是连续、微分、积分还是级数等，都不可避免地要和极限打交道. 那个年代的数学家是凭借直觉做数学的，逻辑上很难把极限讲清楚，受到很大的诟病.

这个

到底应该如何解读？

直观上这是容易理解的：

趋近于无穷大的时候，

会随着无限接近

接近

是主，

接近

是从，主人靠近

，仆从不敢不靠近

我们必须承认，上述说法不但含糊不清，而且容易产生误解. 如果只停留在这种感性认识上，任何有意义的深入讨论都将无法进行下去. 我们必须给出严格的数学定义.

但要从逻辑上把上述问题讲清楚，却是异常困难的.

一直到19世纪20年代Bolzano，Cauchy等人提出新的观点，而有

语言的出现，把主从反过来看，1860年Weierstrass才严格地用今天的

语言来处理极限问题.

至此，微积分才算建立起无暇的逻辑基础.

定义：对于数列

而言，

为实数，我们说

是指，若对任意给定的

，恒可找到

，当

时，

注记

的任意性：
源于希腊语“error”，是误差的意思，用来衡量
与
的接近程度.
既有任意性，又有确定性. 因为只有当
给定时，才能找到相应的
.
的相应性：
虽然随着
变小而变大，但
并不是
的函数，这是由于
不是由
惟一确定，极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数
，我们只关心
的存在性.
几何意义：
含
除有限项外的所有项.
从极限定义可知，一个数列收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无半毛钱关系. 换句话说，你可以随意修改数列的有限项，而不至于影响其收敛性.

禅语：

既有任意性，又有确定性！少年你懂了吗？

要把极限讲清楚，主从必须颠倒，

是我们的小公举，

是仆从，小公举要睡觉了（

），仆从必须把床铺好（找出

来）.

这个主从转变的思想，花了将近200年.

语言是微积分的基石和工具. 要学好乾坤大挪移，必须要有九阳真经的基础，希望童鞋们在学习微积分时必须把这基础打好！

在学习极限时，上述晦涩难懂的定义是首先遇到的问题，而第二个难点在于，如何利用定义去证明数列的极限.

我们首先给出极限的如下等价定义.

其中(3)、(4)是我们今后常用的. 另外，(4)中的 k 是与

，

无关的正常数.

例：证明

一般思路：对任意给定的

，从不等式

出发，去分析一个不等式

（一个与

有关的很大的正整数），然后取

即可.

证：

要使

只须

即

于是取

则当

时，就有

另外，记住一些重要的数列极限，对大家今后的学习是大有裨益的.

对于数列极限(以及后面函数的极限)，解释太多也无益处. 就像现在流行的鸡汤文，如果没有经历过，你是很难理解其中的所谓人生道义的. 同样的道理，没有经过大量长期而艰苦的训练，要理解极限简直就是 Mission impossible. (图片和部分文字源于网络)

不多说了，上视频！

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.

极限之美，在悟！

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