借勾股逆定理找直角三角形解题

湖北省黄石市下陆中学　周国强

某些问题如果借助勾股定理的逆定理（简称勾股逆定理）来解方便简捷

 

一、求周长

 

例1　如图⑴，△ABC中，AB = 5，AC = 13，BC边上的中线AD=6，求△ABC的周长．

                                                

解析：显然必须先求出BC的长，但因△ABC 不是直角三角形而无法求出BC的长，为把中线AD与△ABC的边AB、AC进行有效的沟通，需将已知线段AB、AC、AD转移到同一三角形的边上，运用勾股逆定理寻找直角三角形来解决．延长中线AD一倍至E，连CE，知△CDE≌△BDA（SAS），从而CE=AB=5．这样，就把已知线段AB、AC、AD全部集中在△ACE中了，因为CE

+AE

=5

+12

=13

=AC

，所以△ACE是直角三角形且∠E为直角，然后在Rt△CDE中易求得CD的长为

，从而求得△ABC的周长为18+2

．

 

二、求面积

 

例2　如图⑵ 是一块三角形空地，现从中征用一块三角形土地（△ACD）用于建房，经测量AB=250m，BC=240m，AC=70m，CD=50m，且∠ADC=90

．请你计算一下剩余空地的面积是多少（精确到1m）．

　　　　　　　　　　　　　　

解析：因为AC

+BC

=70

+240

=62500=250

=AB

，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90

，因为△ABC的面积为

AC×BC=70×240=8400（m

）；△ACD的面积为

CD×AD =

×50×

=25

=500

，所以剩余空地的面积为8400－500

≈7150（m

）．

 

三、求角度

 

例3　如图3，△ABC中，∠ACB=90

，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数．

　　　　　　　　　　　　　　　　

 

解析：注意到PA=6，PB=2，PC=4，因它们不是同一三角形的三边长，也不是一组勾股数，所以须以这些线段长为依据寻找新的直角三角形，运用勾股逆定理求出问题的答案．由于△ACB是等腰直角三角形，将△CPB绕点C顺时针旋转90

至△CQA，则△CQA≌△CPB（SSS），且△PCQ也是等腰直角三形．连PQ，因CQ=CP=4，∠QCP=90

，知PQ= 4

；这样，在△APQ中，因为AQ

+PQ

=2

+（4

）

= 36 = PA

，所以△APQ是直角三角形且∠AQP=90

，所以∠BPC=∠AQC=∠AQP+CQP=90

+45

=135

．

 

四、判形状

 

例4　如图4，已知，∠ABE=30

，∠A=∠EBC=60

，设AB长为m，BC长为n,CD长为p，且m、n、p满足关系式|m－4| +

(n－2

)

+

= 0，若DE=3，试问：四边形BCDE是何种特殊四边形？为什么？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解析：因为|m－4| +

(n－2

)

+

= 0 ，所以m=4，n=2

，P=

，即AB=4，BC=2

，CD=

，由∠ABE=30

，∠A=∠EBC =60

，知BE⊥AD，所以AE=

AB=2，从而BE= BC =2

，所以△BCE是等边三角形（有一个角是60

的等腰三角形是等边三角形），所以CE=2

，在△CDE中，因为CD

+DE

=（

）

+3

=12 =（2

）

= EC

，所以∠CDE=90

，从而CD∥BE，又DE不平行于BC，故四边形BCDE是直角梯形．