带电粒子在复合场中运动规律分析

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

带电粒子在复合场中运动规律分析

 

【基础知识】

一、复合场

  1. 复合场一般包括重力场、电场和磁场，本专题所说的复合场指的是磁场与电场、磁场与重力场，或者是三场合一。

  2. 三种场力的特点

       （1）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。

（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。

（3）洛仑兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时，f=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，

；洛仑兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛仑兹力都不做功。

  3. 注意：电子、质子、α粒子、离子等微观粒子在复合场中运动时，一般都不计重力，但质量较大的质点（如带电尘粒）在复合场中运动时，不能忽略重力。

 

二、带电粒子在复合场中运动的处理方法

1、正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提

       ①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。

②当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛仑兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。

③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成。

 

2、灵活选用力学规律是解决问题的关键

①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。

②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。

③当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。

 

【典型例题】

1. 速度选择器

正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq，

。在本图中，速度方向必须向右。

⑴这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

⑵若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

例1、某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O以速度v₀向右射去，从右端中心a下方的b点以速度v₁射出；若增大磁感应强度B，该粒子将打到a点上方的c点，且有ac=ab，则该粒子带___电；第二次射出时的速度为­_____。

解：B增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功，所以两次都是只有电场力做功，第一次为正功，第二次为负功，但功的绝对值相同。

 

2、磁流体发电机

例2、 磁流体发电机原理图如图。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但路端电压将小于Bdv。

在定性分析时特别需要注意的是：

    ⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。

    ⑵外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv，但电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）

    ⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。

 

3、带电粒子在匀强磁场和匀强电场中的偏转运动对比

例3、如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v₀分别穿越匀强电场区和匀强磁场区， 场区的宽度均为L偏转角度均为α，求E∶B

解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：

，在磁场中偏转：

，由以上两式可得

。可以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同（电场中侧移较大）；当侧移相同时，偏转角必然不同（磁场中偏转角较大）。

 

4、带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动

    ⑴带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。

例4、一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋转方向为_____。若已知圆半径为r，电场强度为E，磁感应强度为B，则线速度为_____。

解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转动；再由

。

 

例5、质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E，磁感应强度为B。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大， 求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。

解：不妨假设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，向下加速；开始运动后又受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g。随着v的增大，洛伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力和重力大小相等时，小球速度达到最大

。

若将磁场的方向反向，而其他因素都不变，则开始运动后洛伦兹力向右，弹力、摩擦力不断增大，加速度减小。所以开始的加速度最大为

；摩擦力等于重力时速度最大，为

。

小结：与力学紧密结合的综合题，要认真分析受力情况和运动情况（包括速度和加速度）。必要时加以讨论。

 

例6、如图所示，下端封闭、上端开口、高h=5m内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量m=10g、电荷量q=0.2C的小球。整个装置以v=5m/s的水平速度沿垂直于磁场方向进入B=0.2T、方向水平的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端口飞出，取

，求：

（1）小球的电性；

（2）小球在管中运动的时间；

（3）小球在管中运动的过程中增加的机械能。

答案：（1）正电    （2）1s    （3）1J

 

【模拟试题】

  1. 如图所示，带电粒子（不计重力）从加速电场的O点无初速释放后恰能沿直线穿过互相垂直的匀强电场和匀强磁场，下列说法正确的是（    ）

       A. 该粒子一定带正电

B. 若从a点释放，则粒子在右侧场区向上偏转且其电势能增加，动能减少

C. 若从b点释放，则粒子在右侧场区向上偏转且其电势能减小，动能增加

D. 无论从a点释放，还是从b点释放，该粒子都无法沿直线穿过右侧场区

  2. 如图所示，两个质量不同、电量相同的正离子a和b，以相同的动能进入匀强磁场B和匀强电场E叠加的区域，粒子的初速度方向、电场方向和磁场方向互相垂直，若不计重力，a向上偏转，b向下偏转，则（    ）

       A. a质量较大，速度不断增大

B. a质量较小，速度不断增大

C. b质量较大，速度不断增大

D. b质量较小，速度不断增大

  3. 如图所示，平行板电容器的极板沿水平方向放置，电子束从电容器左边正中间a处沿水平方向入射，电子的初速度都是

，在电场力的作用下，刚好从图中所示的c点射出，射出时的速度为v。现若保持电场不变，再加一个匀强磁场，磁场方向跟电场和电子入射的方向都垂直（图中垂直于纸面向里），使电子刚好由图中d点射出。若c、d两点的位置相对于中线ab是对称的，则从d点射出时每个电子的动能等于___________。

 

4. 如图所示，质量为m的带电微粒，在相互垂直的匀强电、磁场中运动，电场强度为E，方向竖直向下，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，此微粒在垂直于磁场的竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动（不计空气阻力），微粒一定带_________电，微粒的线速度大小为_________。

 

  5. 如图所示的正交电磁场，一带电量为

、质量为m的微观粒子，从O点开始竖直向上运动，速度为

。已知磁感应强度为B，电场强度为E，均保持大小、方向不变。

       （1）试求粒子的运动周期。

（2）问当电场、磁场的宽度L为多大时，粒子在电场、磁场中运动后又沿x方向飞出这一区域？（设B、E在y方向区域足够长）

  6. 如图所示，由质量为m，电荷量为q，速率不同（可由同一电场加速）的正离子组成的离子束，经小孔O射入场强为E的匀强电场与磁感应强度为B₁的匀强磁场的区域内（速度选择器），只有速率为某一值

的离子才能沿入射方向做匀速直线运动。当它通过宽度为d的缝的正中位置后射入另一个匀强磁场的区域（磁感应强度大小为

，方向垂直纸面向外），离子将做匀速圆周运动（质谱仪）。

       （1）求运动轨迹不发生偏折的离子的初速度

；

（2）如果初速度

的离子（

）在射出速度选择器时的侧移正好为

，求这种离子射出后所做圆周运动的半径。

 

  7. 如图所示为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调节的均匀磁场，质量为m，电荷量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动，A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间场中得到加速。每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。

    （1）设t=0时粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能

。

（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时的磁感应强度

。

（3）求粒子绕行n圈所需的总时间

（设极板间距远小于R）。

【试题答案】

1. D

2. C

3.

4. 负电；

5. （1）

（2）

       （

）

6. （1）

（2）

7. （1）

（2）

（3）

）