【本讲教育信息】
一. 教学内容:
圆的方程
二. 教学目的:
使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程,能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题.
三. 教学重、难点
教学重点:掌握圆的方程的推导步骤;根据具体条件正确写出圆的方程.
教学难点:运用圆的方程解决一些简单的实际问题.
四. 基本内容
1. 圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
2. 求曲线方程的一般步骤为:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略,直接列出曲线方程.)
(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;
(4)化方程为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)
3. 圆的标准方程 :
已知圆心为,半径为,如何求圆的方程?
运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发,正确地推导出:这个方程叫做圆的标准方程.
若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是.
4. 圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径.
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要三个量确定了且>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决.
5. 圆的一般方程: 将圆的标准方程的展开式为:
,取得
①
再将①方程配方,得
②
不难看出,此方程与圆的标准方程的关系
(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;
(2)当时,方程只有实数解,,即只表示一个点(-,-);
(3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程表示的曲线不一定是圆.
只有当时,它表示的曲线才是圆,我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程.
6. 圆的一般方程与圆的标准方程比较,圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:
(1)和的系数相同,且不等于0;
(2)没有这样的二次项.
但要注意:以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.
看来,要想求出圆的一般方程,只要根据已知条件确定三个系数就可以了.
7. 圆的切线的求法
(1)若点(,)在圆+=的外面,则切线方程为(斜率存在时),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程,求出k,当斜率不存在时,结合图形求出.
(2)若点(,)在圆上,则切线方程为.
(3)若切线斜率为k,则圆的切线方程为.
8. 有关直线与圆的位置关系问题,为避免计算量过大,一般不用判别式,而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解;圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程 .
9. 圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r),圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件:
外离d > R+r
外切
相交
内切
内含
【典型例题】
例1. 求以C(1,3)为圆心,并且和直线相切的圆的方程.
解:已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程.因为圆C和直线相切,所以半径就等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式,得
.
因此,所求圆的方程是
.
点评:由本题可知,圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的.而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系,解题要注意运用圆的切线的性质.解题时画出草图可帮助思考.
例2. 已知圆的方程,求经过圆上一点的切线方程.
解:如图,设切线的斜率为,半径OM的斜率为.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是.
∵ ∴.
经过点M的切线方程是 ,
整理得 .
因为点在圆上,所以,所求切线方程是.
点评:用斜率的知识来求切线方程,这就是“代数方程”:即设出圆的切线方程,将其代入到圆的方程,得到一个关于或的一元二次方程,利用判别式进行求解,但此法不如用几何方法简练实用,几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识),由此确定了斜率的,从而得到点斜式的切线方程,以上两种方法只能求出存在斜率的切线,若斜率不存在,则要结合图形配补.
例3. 求过三点的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程.
解:设所求的圆的方程为:
∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组,
即
解此方程组,可得:.
∴所求圆的方程为:.
;.
得圆心坐标为(4,-3).
或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3).
例4. 已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.
分析:在求出曲线方程之前,很难确定曲线类型,所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.
解:在给定的坐标系里,设点是曲线上的任意一点,也就是点属于集合.
即,
整理得:
所求曲线方程即为:.
将其左边配方,得.
∴此曲线是以点C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.如右上图所示.
例5. 求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆和的交点的圆的方程.
解:设经过两已知圆的交点的圆的方程为
则其圆心坐标为.
∵所求圆的圆心在直线上,
∴.
∴所求圆的方程为.
说明:此题也可先求出两圆的交点,然后用待定系数法求出圆的方程.
例6. 如图所示,已知点P是圆上的一个动点,点A是轴上的定点,坐标为(12,0).点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
分析:应先根据线段中点坐标公式得点M的横、纵坐标,表示出来,然后判断其关系,从而确定其曲线类型.
解:设点M的坐标是().
∵圆的参数方程为:
又∵点P在圆上,∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)
由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为:.
从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
例7. 若实数满足,求的最大值.
分析一:将圆化为参数方程来解.
解法一:将圆变为
∴圆的参数方程为
代入得
=(1+cosθ)-(-2+sinθ)=3+(cosθ-sinθ)
=3+cos(θ+)≤3+
∴的最大值为3+.
分析二:令=u代入圆方程来解.
解析二:令u=,则代入圆方程得
由即
∴3-≤u≤3+,即3-≤x-y≤3+
∴的最大值为3+.
例8. 已知对于圆上任意一点P(),不等式恒成立,求实数的取值范围.
分析:将圆的参数方程代入,转化为求的最值问题来解.
解:由得其参数方程为:
代入,得cosθ+1+sinθ+≥0
∴≥-cosθ-sinθ-1.
∴≥-sin(θ+)-1恒成立,
∴转化为求-sin(θ+)-1的最大值,
∵-sin(θ+)-1的最大值为-1.
∴≥-1.
例9. 已知点A(0,2)和圆C:,一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从A点到切点所经过的路程.
解:设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为,则光线从A点到切点所走的路程为||.
在Rt△中,
∴||=.即光线从A点到切点所经过的路程是.
点评:此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上,把光线从A点到折射点再到切点D的路程,转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便.
例10. 已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
分析:利用“OP⊥OQ”求出m,问题可解.
解:将代入方程,得
设P、Q,则满足条件:
∵ OP⊥OQ, ∴而,,
∴,
∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-,3),半径.
点评:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,由于“OP⊥OQ,”即等价于“”所以最终应考虑用韦达定理来求m.另外,在使用“设而不求”的技巧时,必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.
例11. 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
解法一: 设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│, │a│.
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为,故r2=2b2,
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有
r2=a2+1.
从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
,
所以5d2=│a-2b│2
=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)
=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
或
由于r2=2b2知.
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2.
解法二:同解法一,得
∴
得 ①
将a2=2b2-1代入①式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0,
得 5d2≥1.
∴5d2有最小值1,从而d有最小值.
将其代入②式得2b2±4b+2=0. 解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2. 由r2=a2+1得a=±1.
综上a=±1,b=±1,r2=2.
由=1知a,b同号.
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2.
【模拟试题】
1. 求下列各圆的标准方程:
(1)圆心在上且过两点(2,0),(0,-4);
(2)圆心在直线上,且与直线切于点M(2,-1).
(3)圆心在直线上,且与坐标轴相切.
2. 已知圆.求:
(1)过点A(4,-3)的切线方程.(2)过点B(-5,2)的切线方程.
3. 下列方程各表示什么图形?
(1);
(2);
(3)
4. 求下列各圆的半径和圆的坐标:
(1)
(2)
(3)
5. 若实数x、y满足等式 ,那么的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 经过圆上任一点P作x轴的垂线,垂足为Q,求线段PQ中点轨迹的普通方程.
7. 已知点M是圆上的一个动点,点N(2,6)为定点,当点M在圆上运动时,求线段MN的中点P的轨迹方程,并说明轨迹的图形.
8. 已知一圆C的圆心为(2,-1),且该圆被直线:x-y-1=0 截得的弦长为2,求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程.
9. 已知直线:mx-y=0 ,:x+my-m-2=0.
(1)求证:对m ∈R,与 的交点P在一个定圆上;
(2)若与定圆的另一个交点为,与定圆的另一交点为,求当m在实数范围内取值时,Δ面积的最大值及对应的m.
【试题答案】
1. 分析:从圆的标准方程可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定三个参数.
解:(1)设圆心坐标为(),则所求圆的方程为,
∵圆心在上,∴ ①
又∵圆过(2,0),(0,-4)∴ ②
③
由①②③联立方程组,可得
∴所求圆的方程为.
(2)∵圆与直线相切,并切于点M(2,-1),则圆心必在过点M(2,-1)且垂直于的直线:上,
,即圆心为C(1,-2),=,
∴所求圆的方程为:.
(3)设所求圆的方程为,
∵圆与坐标轴相切, ∴.
又∵圆心()在直线上,∴.
由,得
∴所求圆的方程为:或
2. 分析:求过一点的切线方程,当斜率存在时可设为点斜式,利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程,求出斜率k的值,斜率不存在时,结合图形验证;当然若过圆上一点的切线方程,可利用公式求得.
解:(1)∵点A(4,-3)在圆上.
∴过点A的切线方程为:.
(2)∵点B(-5,2)不在圆上,当过点B(-5,2)的切线的斜率存在时,设所求切线方程为,即
由,得.∴此时切线方程为:.
当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,结合图形可知=-5,也是切线方程.
综上所述,所求切线方程为:或=-5.
3.
(1) 解:此方程表示一个点O(0,0).
(2) 解:可化为:
∴此方程表示以点(1,-2)为圆心,为半径的圆.
(3) 解:可化为:,
∴此方程表示以(-,0)为圆心,为半径的圆.
4.
(1) 答案:即,圆心为(3,0),半径为3
(2) 答案:即,圆心为(0,-b),半径为|b|.
(3) 答案:即,圆心为(, ),半径为||.
5. 解:∵实数满足,
∴()是圆上的点,记为P,
∵是直线OP的斜率,记为.
∴OP:,代入圆方程,消去,得.
直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0,
∴,所以,选D.
6. 解:设M()为线段PQ的中点,
∵圆的参数方程为
又∵点P为圆上任一点
∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)
则Q点的坐标为(2cosθ,0)
由线段中点坐标公式,得点M轨迹的参数方程为:
消去参数θ,可得: 即.
7. 分析:先将圆化为利用圆的参数方程求解.
解:将已知圆的方程化为:
则其参数方程为故可设点M(2+2cosθ,2sinθ)
又∵点N(2,6).∴MN的中点P为
∴点P的轨迹方程为:
它表示圆心在(2,3),半径为1的圆.
8. 分析:通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径,得到圆的方程,其它问题易解.
解:设圆C的方程是(r>0),
则弦长P=2,其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离,
∴P=2=2,∴,
圆的方程为 .
由 ,
解得弦的二端点坐标是(2,1)、(0,-1).
∴过弦二端点的该圆的切线方程是
和
即 和.
点评:在圆中,对弦长的计算有两种方法:一用弦长公式.二用勾股定理,注意根据已知条件选用.本题中的切线方程若结合图形极易得出
9. 分析: 请试从作与 的图形,分析与 的位置入手解题.
解:(1)与 分别过定点(0,0)、(2,1),且两两垂直,
∴ 与 的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆:
即 上.
(2)由(1)得 (0,0)、(2,1),
∴Δ面积的最大值必为.
此时OP与的夹角是,∴ m=3或.
点评:涉及多条曲线位置关系问题,要注意运用图形分析方法,用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性.
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