数列
二. 本周教学目标：
1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
三. 本周知识要点：
（一）数列
（1）一般形式：
（2）通项公式：
（3）前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系：
（二）等差数列
1. 等差数列的定义：
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2. 等差数列的判定方法：
②定义法：对于数列，若（常数），则数列是等差数列。
③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
3. 等差数列的通项公式：
④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。该公式整理后是关于n的一次函数。
4. 等差数列的前n项和：
⑤⑥
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
5. 等差中项：
⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
5. 等差数列的性质：
⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
⑧对于等差数列，若，则
也就是：
⑨若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
6. 奇数项和与偶数项和的关系：
⑩设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则有如下性质：
前n项的和
当n为偶数时，，其中d为公差；
当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）。
7. 前n项和与通项的关系：
（11）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则
（三）等比数列
1. 等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
2. 等比中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是说，如果G是a与b的等比中项，那么，即。
3. 等比数列的判定方法：
①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
4. 等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为，或者。
5. 等比数列的前n项和：
① ②
③当时，。
当时，前n项和必须具备的形式：
6. 等比数列的性质：
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
②对于等比数列，若，则
也就是：
如图所示：
③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么只有当公比且k为偶数时，，，不成等比数列，如下图所示：
【典型例题】
例1. 若数列{an}满足若，则的值为 （ ）
解：逐步计算，可得
，
这说明数列{an}是周期数列，而， 所以。
应选B。
点评：分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色。
例2. 如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通项公式；
（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
解：（1） 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有
… …
∴＝，
，
，
，
即
（2）由图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过的时间再加（44－16）＝28秒，
所以秒
（3）由2004，解得，取最大值得n＝44
例3. 等差数列｛an｝的前n项和为Sn且S5＝－5，S10＝15，求数列｛｝的前n项和Tn。
解：设数列｛an｝的公差为d，首项为a1，
由已知得 5a1＋10d＝－5，10a1＋45d＝15
解得a1＝－3，d＝1
∴Sn ＝ n（－3）＋
∴
∵
∴｛｝是等差数列且首项为＝－3、公差为
∴Tn ＝ n×（－3）＋
例4. 等比数列中，各项均为正数，且，求
解：设等比数列首项为，公比为q，则
另法：，
将两式相加得
又因为数列中，各项均为正数，所以＝7
例5. 设数列{an}的前n的项和为 Sn，且其中m为常数，
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比满足q＝f（m）且
为等差数列，并求
解：（1）由，得
两式相减，得
是等比数列
点评：为了求数列的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．
【模拟试题】
一. 选择题
1. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选（ ）
A. 1楼 B. 2楼 C. 3楼 D. 4楼
2. 若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则
A. ＝ B. ＞ C. D. ＞
3. 数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列若an＝bn，则n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 在等差数列{an}中，am＝n，an＝m，则am＋n的值为（ ）
A. m＋n B. C. D. 0
5. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
6. 数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ）
A. 第13项 B. 第14项 C. 第15项 D. 不在此数列中
7. 若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若q>1，则an＋1>an B. 若0<q<1，则an＋1<an
C. 若q＝1，则Sn＋1＝Sn D. 若－1<q<0，则
二、填空题
8. 数列{an}中，a1＝p，a2＝q，an＋2＋an＝2an＋1，则a2n＝
9. 在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a8＋a9＋a14＝70，则a8＝
10. 在等比数列{an}中，a1－a5＝－，S4＝－5，则a4＝
11. 三个正数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝62，，lga＋lgb＋lgc＝3，则这三个正数为
三、解答题
12. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）…… （2）－1，……
（3）3，33，333，3333，…… （4）……
13. 已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和
14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且a3b3＝，S5＋S3＝21，求bn。
15. 陈老师购买安居工程集资房72m2，单价为1000元/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的7.5%每年复利一次计算（即本年利息计入次年的本金生息），那么每年应付款多少元?（参考数据：1.0759 1.921，1.075102.065，1.075112.221）
【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. C
8. p＋(2n－1)(q－p) 9. 14 10. 1 11. 50，10，2
12. 解：（1）an ＝ ； (2)an ＝ (－1)n ·
(3)an ＝ (10n－1) ； (4)an ＝
13. 解：S50－S30＝a31＋a32＋…＋a50＝＝30－50＝－20
∴a1＋a80＝－2 ∴S80＝
14.
由①，得a1＝d由②，得8a1＋13d＝1
故a1＝d＝1
∴
15. 设每年付款x元，那么10年后
第一年付款的本利和为a1＝1.0759x元
第二年付款的本利和为a2＝1.0758x元
依次类推
第n年付款的本利和为an＝1.07510－nx元
则各年付款的本利和{an}为等比数列
∴10年付款的本利和为S10＝
个人负担的余额总数为72×1000－28800－14400＝28800元
10年后余款的本利和为18800×1.07510
解得x＝
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