万有引力与航天是高考热点和重点之一,2013高考对万有引力与航天考查重点主要有:
一、开普勒行星运动定律
开普勒第一定律,也称椭圆定律;也称轨道定律:每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点中;
普勒第二定律,也称面积定律:在相等时间内,太阳和运动中的行星的连线(向量半径)所扫过的面积都是相等的。
开普勒第三定律,也称周期定律:是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。
例1(2013高考江苏物理第1题)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案:C
解析:太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上,选项A错误。由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,火星和木星绕太阳运行速度的大小变化,选项B错误。根据开普勒行星运动定律可知,火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方,选项C正确。相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积,选项D错误。
例2(2013高考上海物理卷)若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2=2∶1,则它们的轨道半径之比R1∶R2= ,向心加速度之比a1∶a2= 。
答案:∶1 1∶2
解析:由开普勒定律,R1∶R2=∶=∶1.由牛顿第二定律,G=ma,向心加速度之比a1∶a2=R22∶R12=1∶2。
二、万有引力定律
宇宙间的一切物体都是相互吸引的,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间距离的二次方成反比。万有引力适用于可以看作质点的物体之间的相互作用,质量分布均匀的球体可以视为质量集中于球心的质点。万有引力定律是自然界普适定律之一。
例1(2013新课标Ⅱ理综)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( )
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
答案:B、D
解析:卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,做近心运动,万有引力做正功,引力势能减小。由于稀薄气体的阻力做负功,故卫星的机械能减小,又稀薄气体的阻力较小,故卫星克服气体阻力做的功小于万有引力做的功,即小于引力势能的减小,由动能定理可知合外力做正功,卫星的动能增加,本题选B、D。
例2(2013浙江理综)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
答案:B、C
解析:地球对一颗卫星的引力大小为,根据牛顿第三定律一颗卫星对地球的引力大小为也,根据几何关系可以求得两颗卫星之间的距离为,因此两颗卫星之间的引力大小为 ;三颗卫星对地球引力的合力为0。
例3(2013高考浙江理综)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
答案:B、C
解析:由万有引力定律,地球对一颗卫星的引力大小为,一颗卫星对地球的引力大小为,选项A错误B正确。由2rcos30°=L可得两颗卫星之间的距离为L=r,由万有引力定律,两颗卫星之间的引力大小为,选项C正确。三颗卫星对地球引力的合力大小为零,选项D错误。
三、卫星
卫星绕地球的运动,万有引力提供向心力。卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道平面一定过地心,轨道半径等于卫星与地心的距离。地球同步卫星的轨道一定与赤道共面,其周期等于地球自转周期。卫星问题是高考热点,解决卫星问题的方法是,根据题述条件及物理情景,应用相关规律列出相应方程联立解得。
例1(2013高考天津理综卷)“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行,标志着我国探月工程的第一阶段己经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动,它距月球表面的高度为h,己知月球的质量为M、半径为R,引力常量为G,则卫星绕月球运动的向心加速度a= ,线速度v= .
答案:
解析:万有引力提供卫星运动的向心力,有:G=m a,解得a=.由G=m解得v=。
例2(2013高考安徽理综卷)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表示为EP=-G,其中G为引力常量,M为地球质量。该卫星原来的在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动,由于受到极稀薄空气的摩擦作用,飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2,此过程中因摩擦而产生的热量为( )
A. GMm(-) B. GMm(-)
C.GMm(-) D.GMm(-)
答案: C
解析:卫星降低轨道,减少的引力势能,△EP=-G-(-G)=GMm(-)。由G=mv2/R,可得卫星在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动的动能Ek1=mv2= ,卫星在半径为R2的轨道上绕地球做匀速圆周运动的动能Ek2=mv2= ,动能增加△Ek=-,由功能关系△EP=△Ek+Q,联立解得:此过程中因摩擦而产生的热量为Q=GMm(-),所以正确选项为C。
四、天体的运动
研究天体的运动,当一个天体的质量远远大于另外天体的质量时,一般认为中心天体是不动的,环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动,环绕天体只受到中心天体的万有引力作用,这个引力提供环绕天体做圆周运动的向心力。
例1(2013全国高考大纲版理综)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟。已知引力常量G=6.67×10–11 N?m2/kg2,月球的半径为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )
A.8.1×1010 kg B.7.4×1013 kg C.5.4×1019 kg D.7.4×1022 kg
答案:D
解析:由G=m(R+h)()2 ,解得月球的质量M=4π2(R+h)3/GT2, 代入数据得:M=7.4×1022 kg,,选项D正确。
例2(2013高考广东理综卷)如图3,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙大
D. 甲的线速度比乙大
答案:A
解析:由万有引力提供向心力得: =ma,解得,甲的向心加速度比乙的小,选项A正确。由 解得:,甲的线速度比乙小,选项D错误。由 =解得:,甲的角速度比乙小。选项C错误。由 =mr解得:T=2π,甲的运行周期比乙的大,选项B错误。
例3(2013高考四川理综卷)太阳系外行星大多不适宜人类居住,绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待。该行星的温度在0℃到40℃之间,质量是地球的6倍,直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,则( )
A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同2
B.如果人到了该行星,其体重是地球上的倍
C.该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的倍
D.由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,其长度一定会变短。
答案:B
解析:由Gm=gR2,可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为==6·=,如果人到了该行星,其体重是地球上的=倍,选项B正确。在该行星上发射卫星的第一宇宙速度v==4,是地球上发射卫星的第一宇宙速度的4倍,选项A错误。由G=mr,G=mr,可得= ·=0.31·,该行星与“Glicsc581”的距离r’是日地距离r的倍,选项C错误。该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,在该行星上观察,其长度不变,选项D错误。
例4(2013高考福建理综卷)设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视为r的圆。已知万有引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:由G=mr()2,,可得描述该行星运动的上述物理量满足,选项A正确。
五、航天
航天飞机、宇宙飞船等在轨道上正常运行类似于卫星,可仿照卫星问题的处理方法,利用万有引力等于向心力列出相关方程解答。航天飞机、宇宙飞船等变轨时,通过同一点所受万有引力相同,其加速度相同。航天飞机、宇宙飞船等从轨道半径较小的圆轨道通过加速变轨到椭圆轨道,机械能增大;在远地点加速变轨到半径较大的圆轨道,机械能增大。航天飞机、宇宙飞船等在椭圆轨道上运行,机械能守恒;在近地点势能最小,动能最大;在远地点势能最大,动能最小。
例1(2013新课标Ⅰ理综)2012年6月18日,神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是 ( )
A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.如不加干预,在运行一段时间后,天宫一号的动能可能会增加
C.如不加干预,天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在天宫一号中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用
答案:B、C
解析:为了实现对接,两者运行速度的大小都应小于第一宇宙速度,所以A错;由于对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气,如不加干预,天宫一号的轨道高度将缓慢降低,动能增加,所以BC正确;航天员在天宫一号中受地球引力作用, 所以D错。
六、双星系统
两个质量相差不太大、相距较近的两个天体称为双星。若忽略其他星球的影响,双星在万有引力作用下绕两者的质心(双星连线上一点)运动,运动周期相等。
例1(2013高考山东理综卷)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T C. T D. T
答案:B
解析:设两恒星中一个恒星的质量为m,围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r,两星总质量为M,两星之间的距离为R,由G=mr,G=(M-m)(R-r),联立解得:T=2π。经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为=2π=T。选项B正确。
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