高考中的天体运动问题模型探析

河南省新县高级中学 吴国富

　　运用万有引力定律求解天体运动问题，是高考每年必考的重要内容，通过对近几年全国及各地高考试题的研究，发现天体问题可归纳为以下四种模型。

 

　　一、重力与万有引力关系模型

 

　　1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力

 

　　由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化，即重力加速度的值g随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上

，在两极处

，

。

 

　　例1　如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（　　）

 

 

　　A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等　     B．P、Q受地球重力相等

 

　　C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等　     D．P、Q做圆周运动的周期相等

 

　　解析：随地球自转的物体必与地球有相同的周期、角速度；质量一样的物体在地表不同纬度处所受地球万有引力一般大,但重力和向心力不一般大．正确选项是CD。

 

　　2．忽略地球（星球）自转影响，则地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力．

 

　　例2　荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是

、半径为

，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为

。那么，

 

　　（1）该星球表面附近的重力加速度

等于多少？

 

　　（2）若经过最低位置的速度为

,你能上升的最大高度是多少？

 

　　解析：（1）设人的质量为

,在星球表面附近的重力等于万有引力，有

 

　　解得

 

 

　　（2）设人能上升的最大高度为

,由功能关系得

 

　　解得

 

　　二、卫星（行星）模型

 

　　卫星（行星）模型的特征是卫星（行星）绕中心天体做匀速圆周运动，如图2所示。

 

 

　　1．卫星（行星）的动力学特征

 

　　中心天体对卫星（行星）的万有引力提供卫星（行星）做匀速圆周运动的向心力，即有：

。

 

　　2．卫星（行星）轨道特征

 

　　由于卫星（行星）正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星（行星）平面必定经过中心天体中心。

 

　　3．卫星（行星）模型题型设计

 

　　1)讨论卫星（行星）的向心加速度

、绕行速度

、角速度

、周期

与半径

的关系问题。

 

　　由

得

，故

越大，

越小。

 

　　由

得

，故

越大，

越小。

 

　　由

得

，故

越大，

越小。

 

　　

得

，故

越大，

越长。

 

　　例3　我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的

，月球的半径约为地球半径的

,地球上的第一宇宙速度约为7．9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（   ）

 

　　A．0．4km/s     B．1．8km/s    C．11km/s    D．36km/s

 

　　解析：由

得

，当卫星半径

时，

称之为该中心天体的第一宇宙速度．所以有

，解得

，所以正确答案为B。

 

　　2)求中心天体的质量

或密度

（设中心天体的半径

）

 

　　若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期

与半径

 

　　根据

得

，则

 

　　若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度

与半径

 

　　由

得

，则

 

　　若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度

与周期

 

　　由

和

得

，则

 

　　若已知中心天体表面的重力加速度

及中心天体的球半径

 

　　由

得

，则

 

　　例4　一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（   ）

 

　　A．飞船的轨道半径                         B．飞船的运行速度

 

　　C．飞船的运行周期                         D．行星的质量

 

　　解析：根据

得

，则

　　由于飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，所以上式中

，即

。

 

　　所以正确答案为C。

 

　　3)卫星的变轨问题

 

　　卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有

．当卫星由于某种原因速度

突然增大时，

，卫星将做离心运动；当

突然减小时，

，卫星做向心运动。

 

　　例5　“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km的圆轨道3。设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（　　）

 

 

　　A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

 

　　B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

 

　　C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度

 

　　D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度

 

　　解析：设地球质量为M，地球半径为R，飞船质量为m，轨道半径为r，由牛顿第二定律得

和

，即

，

，可见在r增大时，V和ω都将减小，故A错B对。飞船在同一点受到地球的万有引力相同，其加速度必相同，与其在哪个轨道上运动无关，所以C错D对。正确选项为BD。

 

　　4)地球同步卫星问题

 

　　地球同步卫星是指相对地面静止的、运行周期与地球的自转周期相等的卫星，这种卫星一般用于通讯，又叫做同步通信卫星，其特点可概括为“五个一定”即位置一定（必须位于地球赤道的上空）；周期一定（

）；高度一定（

）；速率一定（

）；运行方向一定（自西向东运行）。

 

　　例6　在地球上（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ 　  ）

 

　　A．它们的质量可能不同

 

　　B．它们的速度可能不同

 

　　C．它们的角速度可能不同

 

　　D．它们离地心的距离可能不同

 

　　解析：由同步卫星的“五个一定”可知BCD错误，正确答案为A。

 

　　5)卫星的追及与相遇问题

 

　　两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。

 

　　例7　如图4所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（　　）

 

 

　　A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

 

　　B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

 

　　C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c

 

　　D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大

 

　　解析：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由

知，

，故A选项错；由加速度

可知

，故B选项错。

 

　　当c加速时，c受到的万有引力

，故它将做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力

, 故它将做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。

 

　　对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由

知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。

 

　　例8　如图5所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为

，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

 

 

　　（1）求卫星B的运行周期。

 

　　（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？

 

　　解析：（1）由万有引力定律和向心力公式得

 

　　忽略地球自转影响有

 

　　解得

 

　　（2）设A、B两卫星经时间

再次相距最近，由题意得

，又有

 

　　解得

 

　　6)卫星的发射能量问题

 

　　发射卫星过程中，火箭带着卫星克服地球引力做功，将消耗大量能量，所以发射轨道越高的卫星，耗能越多，难度越大。同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应尽量靠近赤道且自西向东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭能量。

 

　　例9　我中已经拥有甘肃酒泉、山西太原和四川西昌三个卫星发射中心，又计划在海南建设一个航天发射场，预计2010年前投入使用．关于我国在2010年用运载火箭发射一颗同步卫星，下列说法正确的是（  　）

 

　　A．在海南发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源

 

　　B．在酒泉发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源

 

　　C．海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在海南可以发射质量更大的同步卫星

 

　　D．海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在太原可以发射质量更大的同步卫星

 

　　解析：我国海南离赤道较近，火箭随地球自转线速度较大，具有的动能较大，若沿自转方向发射可以节省能源。离赤道越近，所需随地球自转的向心力越大，则重力加速度越小，发射时克服引力越容易，故在海南处可以发射质量较大的卫星。正确选项为AC。

 

　　三、双星模型

 

　　宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点：

 

 

　　⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

 

　　⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由

可得

，可得

，

，即固定点O离质量大的星较近。

 

　　列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r₁、r₂，千万不可混淆。

 

　　例10　神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

 

                                       

 

　　（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m’（用m₁、m₂表示）；

 

　　（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

 

　　（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2．7×10⁵m/s，运行周期T＝4．7π×10⁴s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6．67×10^－11N·m²/kg²，m_s＝2．0×10³⁰kg）

 

　　解析：设A、B的圆轨道半径分别为

，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为

。由牛顿运动定律，有

，

，

 

　　设A、B间距离为

，则

 

　　由以上各式解得

 

　　由万有引力定律，有

，代入

得

 

　　令

，通过比较得

 

　　（2）由牛顿第二定律，有

 

　　而可见星A的轨道半径

 

　　将

代入上式解得

 

　　（3）将

代入上式得

 

　　代入数据得

 

　　设

，将其代入上式得

 

　　可见，

的值随

的增大而增大，试令

，得

 

　　

 

　　可见，若使以上等式成立，则

必大于2，即暗星B的质量

必大于

，由此可得出结论：暗星B有可能是黑洞。

 

　　四、三星模型

 

　　例11　宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为

。

 

　　（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

 

　　（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

 

　　解析：（1）星体运动的向心力是由另外两星体对它的万有引力提供，则有

 

　　解得

，

 

　　（2）设第二种情形下星体做圆周运动的半径为

，则相邻两星体间距离

，相邻两星体之间的万有引力

 

　　由星体做圆周运动可知

 

　　由以上各式解得