2009年高考试题中的天体运行问题分类解析

　　天体运行问题的求解与分析，是对万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合运用。有些新情境问题的分析还涉及物理建模能力，需要学生有较好空间想象能力核物理建模能力，有些估算问题还需要较好的数据处理能力与技巧。

 

　　一、物理史问题

 

　　例1（宁夏理综-14）在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（　　）

 

　　A．伽利略发现了行星运动的规律

 

　　B．卡文迪许通过实验测出了引力常量

 

　　C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因

 

　　D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献

 

　　解析：行星运动定律是开普勒发现的，A错B对；伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，C错D对。本题选BD。

 

　　例2（上海物理-8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（　　）

 

　　A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想

 

　　B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F?m的结论

 

　　C．根据F?m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F?m₁m₂

 

　　D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小

 

　　解析：根据大量实验数据得出了比例系数G的大小，是笛卡尔的贡献，D错。本题选ABC。

 

　　【点评】这类问题主要考查人类探究天体运行规律，建立万有引力定律过程中的重要事实及重大发现，涉及与此有关的科学家的主要功绩。解答这类问题关键是要熟悉这段历史。

 

　　二、行星运行问题

 

　　例2（宁夏理综-15）地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5．2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为（　　）

 

　　A．0．19         B．0．44          C．2．3        D．5．2

 

　　解析：天体的运动中，中心天体对行星的万有引力等于行星圆周运动的向心力，故有：

解得：

，可见木星与地球绕太阳运行的线速度之比

，B正确。

 

　　例3（四川理综-15）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3．39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（　　）

 

　　A．

       B．

       C．

       D．

 

　　解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，故有

，解得小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R₁:R₂＝

；又由

解得v₁:v₂＝

，解得：v₁:v₂＝

。本题选A。

 

　　【点评】行星的运动是匀速圆周运动，所需向心力等于中心天体对它的万有引力。

 

　　三、人造地球卫星运行问题

 

　　例4（北京理综-22）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响（　　）

 

　　（1）推到第一宇宙速度v₁的表达式；

 

　　（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期

 

　　解析：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足

，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即

，解得：

 

　　（2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：

，而

，解得：

。

 

　　例5（广东物理-5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道，发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图1所示。这样选址的优点是，在赤道附近（　　）

 

 

　　A．地球的引力较大      

 

　　B．地球自转线速度较大

 

　　C．重力加速度较大      

 

　　D．地球自转角速度较大

 

　　解析：在发射人造卫星时可以借助物体随地球自转的线速度来发射，这样就可以减少发射提供的需要的能量，而在赤道位置物体随地球自转的线速度最大，B对；另外在赤道位置地球半径大，重力加速度小，万有引力小，A、C错；在地球上各处自转的角速度是相同的，D错。本题选B。

 

　　例6（海南物理-6）近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T₁和T₂，设在卫星1．卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g_1．g₂，则（　　）

A．

    B．

    C．

 　D．

 

　　解析：卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有

解得：

（K为常数），在地面附近由于由重力等于万有引力，故有

联立解得：

，即g与

成反比。本题选B。

 

　　例7（全国理综I-19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4．7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1．4小时，引力常量G＝6．67×10-11N·m²/kg²，由此估算该行星的平均密度约为（　　）

 

　　A．1．8×10³kg/m³

 

　　B．5．6×10³kg/m³

 

　　C．1．1×10⁴kg/m³

 

　　D．2．9×10⁴kg/m³

 

　　解析：对于近地卫星饶地球运动有：

，而

，代入已知数据解得：ρ=2．9×10⁴kg/m³。本题选D。

 

　　

例8（安徽理综-15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（　　）

 

　　

A．甲的运行周期一定比乙的长      

 

　　B．甲距地面的高度一定比乙的高

 

　　

C．甲的向心力一定比乙的小        

 

　　D．甲的加速度一定比乙的大

 

　　解析：由公式

可知甲的周期小，A错；由

可知，甲碎片的轨道半径小，B错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，C错；碎片的加速度是由

，可知甲的加速度比乙大，D对。本题选D。

 

　　【点评】对于卫星的运行应把握四个基本原则。一是轨道决定一切，即卫星的运行速度、周期等都由轨道半径决定；二是速度影响轨道，即由于某种原因引起卫星运行速度的变化，必然会引起卫星轨道的变化，最后卫星将在另一新轨道上稳定运行；三是对于近地卫星，运行轨道等于地球半径，万有引力等于重力；四是同步卫星与地球自转同步，即卫星角速度等于地球自转解速度，同步卫星的距地高度（轨道半径）、线速度（角速度）、周期、加速度是定值。

 

　　四、飞船问题

 

　　例9（山东理综-18）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。如图2所示，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（　　）

 

 

　　A．飞船在变轨前后的机械能相等

 

　　B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

 

　　C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度

 

　　D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后澡圆轨道运动的加速度

 

　　解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，A错；飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B对；飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据

可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C对。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，D错。本题选BC。

 

　　【点评】飞船的变轨前后，由于推进火箭的做功，飞船的机械能不守恒，但飞船在同一轨道上的稳定运行过程中，机械能守恒。飞船在两轨道的相切处，飞船的加速度相同。

 

　　五、环月问题

 

　　例10（重庆理综-17）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v₁和v_2，那么v₁和v₂的比值为（月球半径取1700Km）（　　）

 

　　A．

      B．

       C．

      D．

 

　　解析：“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力，由

可得：

（M为月球质量），

，代入R₁＝1900Km、R₂＝1800Km，得

。本题选C。

 

　　

例11（福建理综-14）“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时（　　）

 

　　

A．r、v都将略为减小               

 

　　B．r、v都将保持不变

 

　　

C．r将略为减小，v将略为增大       

 

　　D．r将略为增大，v将略为减小

 

　　解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。本题选C。

 

　　【点评】处理“环月”问题的思路和方法与处理人造地球卫星运行问题相同。

 

　　六、黑洞问题

 

　　例12（江苏物理-3）英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径

约45km，质量

和半径

的关系满足

（其中

为光速，

为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（　　）

 

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

 

　　解析：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：

，又有

，联立解得

，带入数据得重力加速度的数量级为10¹²m/s²，本题C。

 

　　例13（天津理综-12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现。有一星体S2绕人马座A做椭圆运动，其轨道半长轴为9．50

10²天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A就处在该椭圆的一个焦点上。观测到S2星的运行周期是15．2年。

 

　　若将S2星的运行轨道视为半径r=9．50

10²天文单位的圆轨道。试估算人马座A的质量M_A是太阳质量M_s的多少倍(结果保留一位有效数字)；

 

　　黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为

(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6．7

10^-11N·m²/kg²，光速c=3．0

10⁸m/s，太阳质量M_s=2．0

10³⁰kg，太阳半径R_s=7．0

10⁸m，不考思相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径R与太阳半径之比应小于多少（结果按大保留整数）。

 

　　解析：（1）S2星绕人马座A^*做圆周运动的向心力由人马座A^*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m_S2，角速度为ω，周期为T，则：

，

，设地球质量为m_E，公转轨道半径为r_E，周期为T_E，则：

 

　　综合上述三式得：

，代入数据可得：

 

　　（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的引力势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时引力势能仍为负值，其能量总和小于零，则有：

，

 

　　依题意可知：

，

，可得：

 

 

　　代入数据得：

   ，

 

 

　　【点评】黑洞实际为一天体，因此处理黑洞问题的基本原则与一般天体的运行原则相同，即绕黑洞运行的天体的向心力等于黑洞的万有引力，在黑洞表面附近，物体的重力近似等于黑洞的万有引力。处理这类问的关键，要从所给的材料中提炼出有用信息，构建好物理模型。

 

　　七、潮汐问题

 

　　例14（浙江理综-19）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2．7×10⁷倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是

 

　　A．太阳引力远大于月球引力

 

　　B．太阳引力与月球引力相差不大

 

　　C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等

 

　　D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

 

　　

解析：由万有引力定律得：

，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。本题选AD。

 

　　【点评】引起潮汐现象的主要因素是太阳、月球对海水的引力引起的，地球表面不同区域的海水间距与月心距离相比，不可忽略，整个地球表面的海水不能视为质点。分析与求解这类问题的主要依据是万有引力定律。

 

　　分析与求解天体运行问题，依据的基本模型就是匀速圆周运动，圆周运动的向心力等于中心天体的万有引力；基本公式有由万有引力定律与牛顿第二定律建立的基本公式

，还有由物体在星体表面附近的重力近似等于万有引力建立的黄金代换公式

。由这两个关系式，再结合其他物理关系式可求得天体运行的速度、周期、轨道半径等运行参数，还可求得天体运行的动能、动量等状态量。