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§4.1等差数列的通项与求和

第四章  数列

 

§4.1等差数列的通项与求和

 

一、知识导学

 

1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….

3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.

5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.

8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=

.我们把A=
叫做a和b的等差中项.

 

二、疑难知识导析

 

1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n})的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列{an}的前n项的和Sn与an间的关系:

若a1适合an(n>2),则
不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,

)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解:等差数列的前n项之和公式可变形为

,若令A=
,B=a1
,则
=An2+Bn.

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,

,n中任意三个,可求其余两个。

 

三、经典例题导讲

 

[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.

错解:(1)an=3n+7;

(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.

错因:误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a1=10

1,显然3n+7不是它的通项.

正解:(1)an=3n-2;

(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.

 [例2] 已知数列

的前n项之和为①
  ②
  

求数列

的通项公式。

错解: ①

     

错因:在对数列概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1与的关系,没注意a1=S1.

正解:     ①当

时,

          

时,

           经检验

 也适合,

          ②当

时,

            

时,

       

  

[例3] 已知等差数列

的前n项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于          

错解:S30= S10·2d.

 d=30,
 S40= S30+d =100.

错因:将等差数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.

正解:由题意:

代入得S40

[例4]等差数列

的前n项和为Sn、Tn.若

错解:因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.

错因:误认为

正解

[例5]已知一个等差数列

的通项公式an=25-5n,求数列
的前n项和;

错解:由an

0得n
5

前5项为非负,从第6项起为负,

Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n
5)

当n

6时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+…+|an|=

 Sn=

错因:一、把n

5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n
6起”的和.

正解

 

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,

由此可以确定求其前

项和的公式吗?

解:理由如下:由题设:

   

得:

 

 

[例7]已知:

  (1) 问前多少项之和为最     大?(2)前多少项之和的绝对值最小?

 解:(1) 

     ∴

     (2)

       

近于0时其和绝对值最小

        令:

  即 1024+

        得:

            

     ∴

[例8]项数是

的等差数列,中间两项为
是方程
的两根,求证此数列的和
是方程
的根。(

 证明:依题意

    

  

     ∴

    

       ∴
   (获证)。

 

四、典型习题导练

 

1.已知

,求

2.设

,求证:

3.求和:

4.求和:

5.已知

依次成等差数列,求证:
依次成等差数列.

6.在等差数列

中,
,则
(       )。

A.72  B.60  C.48  D.36

7. 已知

是等差数列,且满足
,则
等于________。

8.已知数列

成等差数列,且
,求
的值。

 

§4.2等比数列的通项与求和

 

一、知识导学

 

1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.

2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

3.等比数列的前n项和公式:

 

二、疑难知识导析

 

1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不为0.

2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.

4.在已知等比数列的a1和q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.

6.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1可改写为

.当q>0,且q
1时,y=qx是一个指数函数,而
是一个不为0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数
的图象上的一群孤立的点.

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d,

,n中任意三个,可求其余两个。

 

三、经典例题导讲

 

[例1] 已知数列

的前n项之和Sn=aqn
为非零常数),则
为( )。

A.等差数列   

B.等比数列  

C.既不是等差数列,也不是等比数列

D.既是等差数列,又是等比数列

错解

(常数)

为等比数列,即B。

错因:忽略了

中隐含条件n>1.

正解:当n=1时,a1=S1=aq;

当n>1时,

(常数)

既不是等差数列,也不是等比数列,选C。

[例2] 已知等比数列

的前n项和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于.

错解:S30= S10·q 2.

 q 2=7,q=
S40= S30·q =
.

错因:是将等比数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解:由题意:

S40=
.

[例3] 求和:a+a2+a3+…+an.

错解

a+a2+a3+…+an
.

错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解:当a=0时,a+a2+a3+…+an=0;

 当a=1时,a+a2+a3+…+an=n;

当a

1时,
a+a2+a3+…+an
.

[例4]

均为非零实数,

      求证:

成等比数列且公比为

证明:

证法一:关于

的二次方程
有实根,

 

,∴

  则必有:

,即
,∴非零实数
成等比数列

  设公比为

,则
代入

 

 

,即
,即

证法二:

     

     

,∴
,且

     

非零,∴

[例5]在等比数列

中,
,求该数列前7项之积。

  解:

 

,∴前七项之积

[例6]求数列

n项和

  解:

               ①

 

两式相减:

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水,然后加入1kg水,以后每次都倒出1kg盐水,然后再加入1kg水,

问:(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?

    (2)经6次倒出后,一共倒出多少kg盐?此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?

解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

  a1= 0.2 (kg),   a2=

×0.2(kg),    a3= (
)2×0.2(kg)

 由此可见:an= (

)n-1×0.2(kg),   a5= (
)5
-1×0.2= (
)4×0.2=0.0125(kg)。

    (2)由(1)得{an}是等比数列    a1=0.2 ,    q=

答:第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg6次倒出后,一共倒出0.39375kg盐,此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125

 

四、典型习题导练

 

1.求下列各等比数列的通项公式:

1)       a1=-2,  a3=-8

2)       a1=5, 且2an+1=-3an

3)       a1=5,

2.在等比数列

,已知
,求
.

3.已知无穷数列

      求证:(1)这个数列成等比数列

    (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

    (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4.设数列

求此数列前
项的和。

5.已知数列{an}中,a1=-2an+1=Sn,求an ,Sn

6.是否存在数列{an},其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?

7.在等比数列

中,
,求
的范围。

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