第四章 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….
3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.
8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=.我们把A=叫做a和b的等差中项.
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n})的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列{an}的前n项的和Sn与an之间的关系:若a1适合an(n>2),则不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解:等差数列的前n项之和公式可变形为,若令A=,B=a1-,则=An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.
错解:(1)an=3n+7;
(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.
错因:误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
正解:(1)an=3n-2;
(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.
[例2] 已知数列的前n项之和为① ②
求数列的通项公式。
错解: ①
②
错因:在对数列概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1与的关系,没注意a1=S1.
正解: ①当时,
当时,
经检验 时 也适合,
②当时,
当时,
∴
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。
错解:S30= S10·2d. d=30, S40= S30+d =100.
错因:将等差数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
正解:由题意:得
代入得S40 =。
[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求;
错解:因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
错因:误认为
正解:
[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25-5n,求数列的前n项和;
错解:由an0得n5
前5项为非负,从第6项起为负,
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+…+|an|=
Sn=
错因:一、把n5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
正解:
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,
由此可以确定求其前项和的公式吗?
解:理由如下:由题设:
得:
∴
[例7]已知: () (1) 问前多少项之和为最 大?(2)前多少项之和的绝对值最小?
解:(1) ∴
(2)
当近于0时其和绝对值最小
令: 即 1024+
得:
∵ ∴
[例8]项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程 的根。()
证明:依题意
∵ ∴
∵
∴ ∴ (获证)。
四、典型习题导练
1.已知,求及。
2.设,求证:。
3.求和:
4.求和:
5.已知依次成等差数列,求证:依次成等差数列.
6.在等差数列中, ,则 ( )。
A.72 B.60 C.48 D.36
7. 已知是等差数列,且满足,则等于________。
8.已知数列成等差数列,且,求的值。
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.
3.等比数列的前n项和公式:
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不为0.
2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>0,且q1时,y=qx是一个指数函数,而是一个不为0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn(为非零常数),则为( )。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列,也不是等比数列
D.既是等差数列,又是等比数列
错解:
(常数)
为等比数列,即B。
错因:忽略了中隐含条件n>1.
正解:当n=1时,a1=S1=aq;
当n>1时,
(常数)
但
既不是等差数列,也不是等比数列,选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于.
错解:S30= S10·q 2. q 2=7,q=, S40= S30·q =.
错因:是将等比数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
正解:由题意:得,
S40=.
[例3] 求和:a+a2+a3+…+an.
错解: a+a2+a3+…+an=.
错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解:当a=0时,a+a2+a3+…+an=0;
当a=1时,a+a2+a3+…+an=n;
当a1时, a+a2+a3+…+an=.
[例4]设均为非零实数,,
求证:成等比数列且公比为。
证明:
证法一:关于的二次方程有实根,
∴,∴
则必有:,即,∴非零实数成等比数列
设公比为,则,代入
∵,即,即。
证法二:∵
∴
∴,∴,且
∵非零,∴。
[例5]在等比数列中,,求该数列前7项之积。
解:
∵,∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
解: ①
②
两式相减:
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水,然后加入1kg水,以后每次都倒出1kg盐水,然后再加入1kg水,
问:(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?
(2)经6次倒出后,一共倒出多少kg盐?此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?
解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:
a1= 0.2 (kg), a2=×0.2(kg), a3= ()2×0.2(kg)
由此可见:an= ()n-1×0.2(kg), a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125(kg)。
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=
答:第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg;6次倒出后,一共倒出0.39375kg盐,此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式:
1) a1=-2, a3=-8
2) a1=5, 且2an+1=-3an
3) a1=5, 且
2.在等比数列,已知,,求.
3.已知无穷数列,
求证:(1)这个数列成等比数列
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中,a1=-2且an+1=Sn,求an ,Sn
6.是否存在数列{an},其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?
7.在等比数列中,,求的范围。
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