要拿到高考数学数列的分数,就要学会求等差数列及其前n项和

2017-07-17

数列作为高考数学重点内容,一直是高考数学的热点和必考的考点,自然而然受到广大考生的关注。

在高考数学里数列一般就涉及等差数列和等比数列相关知识内容,因此,今天我们就一起来简单讲讲等差数列及其前n项的和相关的考点,进行分析,希望能帮助到大家。

什么是等差数列?

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).

其中有一个非常重要的知识概念:等差中项。指的是在数列中,a,A,b成等差数列的充要条件是A=(a+b)/2其中A叫做a,b的等差中项.

我们还要记住两个跟等差数列的有关公式:

1、通项公式:an=a1+(n-1)d.

2、前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)n/2.

因此,反过来我们去证明{an}为等差数列可以有以下这些方法:

1、用定义证明:an-an-1=d(d为常数,n≥2)?{an}为等差数列;

2、用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列;

3、通项法:an为n的一次函数?{an}为等差数列;

4、前n项和法:Sn=An2+Bn或Sn=(a1+an)n/2.

用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.

典型例题1:

值得注意是与前n项和有关的三类问题

1、知三求二:已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想.

2、Sn=d/2n2+(a1-d/2)n=An2+Bn?d=2A.

3、利用二次函数的图象确定Sn的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值。

等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)n/2,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想。

数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。

典型例题2:

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系.

对于设元与解题的技巧,我们可以从以下两个方面下手:

1、已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;

2、若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

同时我们还要掌握好这些等差数列的性质:

1、若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,{an}为等差数列,则am+an=ap+aq.

2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,公差为kd.

3、若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为n2d.

4、等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a1<><0时为递减数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值。

5、等差数列{an}的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则A=d/2,B=a1-d/2,当d≠0时它表示二次函数,数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件。

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