高考数学：离散型随机变量分布列的性质、解题步骤及典例精解！

1.离散型随机变量的分布列的表示

一般地,若离散型随机变量X可能取得不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.

为了简单起见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.

2.离散型随机变量的分布列的性质

(1) pi≥0,i=1,2,…,n;(2) p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤x≤xj)=Pi+…+Pj(i且i,j∈N*).

3.求解离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义,写出X可能取得全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.

经典例题：

某品牌汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为1.5万元;分12期或15期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.

(1)求上表中的a,b值;

(2)若以频率作为概率,求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用分9期付款”的概率P(A);

(3)求η的分布列及均值E(η).

思路分析：(1)根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a,b的值;(2)事件A是一个独立重复试验,包含两个互斥事件——没有顾客分9期付款与只有1位顾客分9期付款,故先根据题意把频率换成概率即可求解;(3)顾客选择付款的期数只能是3,6,9,12,15,根据题意得到付款期数与利润的关系,然后合并利润相同的事件,确定η的取值,再求出其对应的概率,则易得η的分布列与均值.

所以η的可能取值为1,1.5,2,且P(η=1)=P(ξ=3)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=6)+P(ξ=9)=0.4,

P(η=2)=P(ξ=12)+P(ξ=15)=0.1+0.1=0.2.

故η的分布列为所以η的均值E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).

总结：(1)若随机变量Y的分布列不易求,可以根据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X,确定二者对应值及取对应值的概率的关系,将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列.

(2)在求解均值时,需要掌握均值的性质,利用性质直接求均值可简化运算.