重模型建构     展思想魅力

-----对张齐华老师《方程的意义》一课教学的解读

陈惠芳

《苏教版义务教育课程标准实验教科书》数学五年级下册“方程”一课的教学，是在学生已经认识了等式，以及四年级“用字母表示数”的基础上编排的。张齐华老师在执教本课时，从轻松愉快的谈话入手，弱化方程的形式化表达，而通过具体情境的领悟，重锤“等量关系”这个节点，让学生认识到，方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。他充分抓住方程的本质，重视模型的建构，彰显方程思想的魅力。不妨来分享其中几个精彩的片段。

一、轻松谈话，揣摩方程雏形

五年级学生在学习“用字母表示数”后，对于含有字母的式子相对熟悉，已经接触到了未知数。但如何在“已知数”“未知数”之间建立等量关系？张老师通过轻松幽默的谈话不着痕迹地娓娓道来。课始，他进行了猜数字的游戏，从猜爸爸的年龄、爸爸存折里的钱，猜台下听课教师的人数，让学生一下子明白了什么是未知数，通过“已知数与未知数的比较”，让学生自己顿悟：“如果遇到未知数，可以通过探索，使它变成已知数”。接着，他巧设问题，让学生在猜教师的年龄时，依据不同的数学信息，比较、筛选、近逼，揣摩方程的雏形。

“学生的年龄是11岁”，张老师提供信息：“如果把我的年龄减去20岁，还要比他大。能确定我的年龄吗？”学生认为不能确定。张老师又说：“如果把我的年龄减去30岁，就要比他小。”学生认为“还是没法确定。可能36岁，也可能37岁，等等。”教师顺着学生的思维，故意说：“这样说也不行，那样说也不行，你们到底想要知道什么？”学生纠正说：“你得告诉我们，你的年龄和他的年龄之间到底相差多少岁。”学生在真实情景中自觉思考着。于是，教师提供第三条线索：“如果把我的年龄减去25岁，正好和他相等。”学生齐声回答说：“36岁！”教师马上追问：“刚才三句话，同样都告诉了‘我的年龄’和‘他的年龄’之间的关系，为什么前两回都不行，而这回却行了呢？”，学生的注意力马上集中在这三条信息上。仔细观察这三句话，才发现：“前两个都是大于号或小于号，而最后一个才是等于号。”是啊，“可别小看这个等号，正是它，帮助我们在未知数x和已知数11之间建立了某种等量关系。像这样，在未知数和已知数之间建立的等量关系式，比如X-25=11，数学上就叫方程。”此刻， 方程意义的得出，正所谓是水到渠成。

“把教育意图隐蔽起来，是教育艺术十分重要的因素之一”。如何让学生“自然”而非“人为”地想到“等量关系”？其实，张老师与学生的谈话看似漫不经心，实在匠心独运。一个猜年龄的话题，隐藏着“大于、小于、等于”三种数量关系，而只有“等于”时，才能准确判断“张教师的年龄”。此刻，学生由于经历了观察、比较、判断、猜想，对于“等量关系”已有了初步的理解和感受，而对于“X-25=11”这个方程也就悄然接受了。

二、天平演示，重视模型建构

方程的本质特征是等量关系，它的核心在于建模、化归。无疑，从生活实际引入的方程，学生已观察到了其“形”而未触及到“核”。要建构方程的模型，天平，无疑是最直观的学习工具。因此，张老师借助天平的演示，让学生在真实情境中体会等式，并且在观察、争辩、对话、反思等一系列活动中，丰富感知，挖掘思维深度，拓展思维广度，顺利地建构。

首先，张老师出示了精心设计的四副天平图，要求学生认真观察，利用小组讨论，哪些水果的重量已经知道，哪些还不行？学生观察时，不自觉地运用“方程的两个关键词（含有未知数，等式）”进行判断。“2号天平的两边没有平衡。”“3号天平两种水果的重量都是未知数，没有已知数，所以还是不行。”“未知数没有和已知数建立等量关系，所以也不行。”……不难发现，从观察、判断，到得出结论，学生的思维不断地产生碰撞，也不断地激活着灵感火花，经验在重组，思维在提升。

正当学生经历观察、描述、争论刚产生“认同感”时，张老师又挑起了另一个“导火索”：离开了直观的天平图，你还能判断出一个式子是不是方程吗？随即又出示了8个式子： (略）

显然，学生对于7号产生了争议。有的说：“我觉得它是方程，因为墨迹背后的数不知道，不知道就是未知数，所以它是方程。”也有的认为：“墨迹背后如果是一个字母，那它就是方程。如果是一个数，比如是24，那它就不是方程。”可见，对于这个等式，学生判断时都紧紧扣住了方程的另一本质特征，有没有含有未知数？

 而对于8号式子， 学生十分肯定地说：“ 8号肯定不是方程。就算墨迹后面是未知数，还是不行，因为它没有等量关系。”说得多精准！“那，究竟什么是方程？”教师的追问将学生的注意力再次聚焦在方程的本质特征上——“方程就是在未知数和已知数之间建立的等量关系式。”至此，从直观的天平图到抽象的算式，教师的激疑、追问，学生的思辨，选择，对于方程意义的理解，每个学生都进行了全面、深入的思考，最后，充满理智和严谨的抽象表达自然顺理成章。

 著名数学教育家斯托利亚尔指出：“数学知识的获得，主要不是靠实物实验，而是通过思想上的实验，进行紧张的思维活动。”“疑是思之始，学之端。”而“思”源于“问”。上述环节中，教师基于学生的学习经验，围绕方程的意义，设计了有针对性的问题，组织了高质量的思维活动，学生有了强烈的数学思考的欲望，在对话交流、分享思考中，深化了对方程本质特征的认识，提升了数学思维能力，方程模型也就自主建构起来。

     三、比较练习，凸显思想价值

 2011年版的小学数学课程标准，要求教师的教学活动建立在学生发展的、自觉的、主动的基础上，要让学生经历自主发现数学知识和结论的过程。并且，突出强调了要在解决实际问题的过程中，逐步加深对方程思想的体验，要凸显数学思想方法的价值。在得出“方程”的意义后，如何使学生理解方程在实际生活中的广泛运用，充分展现方程思想的魅力？张老师又通过两个层次的比较练习，帮助学生体会方程的简洁性特点，适时地渗透数学思想方法。

第一个层次，要求学生观察线段图，根据不同的等量关系，列出不同的方程：（略）

学生组内交流后，得出了四个方程，x+350=800， 350+ x=800，800-x=350，800-350=x。教师并不满足这些答案，而是让学生具体说一说不同的方程依据了怎样的等量关系？这样的处理，帮助学生把日常语言及时抽象成数学语言，突出等量关系，理解了方程的实际含义。

第二层次：依次出示如下三图，要求学生思考：不同的问题能列出相同的方程吗？（略）       

学生分别列出4x =320的方程后，教师又继续追问：“观察三道题，你发现了什么？”

“明明三个问题各不相同，为什么列出的方程却一样？” 在教师的导引下，学生渐渐体会到，这三个问题，其实反映的都是4个x相加是320的等量关系，所以列出的方程也一样。“那么，生活中还能再找到一个问题，也能列出这样的方程吗？”教师的提问让学生的思维敞亮起来：每天看x页书，4天看了320页。每个玩具x元，4个玩具一共320元。每个本子x元，4个本子一共320元……无疑，这个练习设计，为学生深度思考什么是方程，预留了空间和时间。余音绕梁中，这个问题一直激荡着学生，促使他们不断去探究。“这样的问题，能找到到无数个！”学生顿悟了。“是啊，只要它们具有同样的数量关系，无论多少个问题，一个方程就能概括。这就是方程的魅力所在。”张老师深情地叙述着。方程，看似复杂，却又如此简单！简明！一个等号，就可以将未知数与已知数之间凝练着一种无与伦比的数学美！

“优秀，源于解读文本的功力”（钱梦龙语），基于上面的分析，不难看到张老师教学的《方程》一课，是对新课标理念的具体解读，他遵循了学生的认知规律，创设了有效的学习情境，利用天平演示，为方程的学习巧妙地搭建了脚手架。精心设计的练习，帮助学生及时提炼等量关系，顺利进行语言转化，逐步构建方程模型，适时渗透方程思想方法，激活了学生的智慧潜能，升华了学生的数学活动经验，促使学生在更高的层次上感受方程学习的价值和魅力！