如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（

（2016·遵义）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-8，3），B（-4，0），C（-4，3），∠ABC=α°．抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过点C，且对称轴为x=-

4

5

，并与y轴交于点G．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．
①求m的值；
②连接CG交x轴于点H，连接FG，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH=GH．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点C坐标代入y=

1

2

x²+bx+c得一方程，利用对称轴公式得另一方程，组成方程组求出解析式，并求出G点的坐标；
（2）①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标，根据点F在抛物线上，列方程求出m的值；
②F点和G点坐标已知，可以求出直线FG的方程，那么FG和x轴的交点坐标（设为Q）可以知道，C点坐标已知，CG的方程也可以求出，那么H点坐标可以求出，可以证明△BPH和△QGH全等．

【解答】解：（1）根据题意得：

1 2 ×(?4)24b+c＝3 b 2× 1 2 ＝? 4 5

解得：

b＝ 4 5 c＝? 9 5

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

4

5

x

9

5

，点G（0，-

9

5

）；

（2）①过F作FM⊥y轴，交DE于M，交y轴于N，

由题意可知：AC=4，BC=3，则AB=5，FM=

12

5

，
∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，
∴E（-4+m，0），OE=MN=4-m，FN=

12

5

-（4-m）=m-

8

5

，
在Rt△FME中，由勾股定理得：EM=

32( 12 5 )2

=

9

5

，
∴F（m-

8

5

，

9

5

），
∵F抛物线上，
∴

9

5

=

1

2

（m-

8

5

）²+

4

5

（m-

8

5

）-

9

5

，
5m²-8m-36=0，
m₁=-2（舍），m2＝

18

5

；

②F（

18

5

8

5

，

9

5

），
∴F（2，

9

5

），
易求得FG的解析式为：y=

9

5

x-

9

5

，
CG解析式为：y=-

6

5

x-

9

5

，
∴

9

5

x-

9

5

=0，x=1，则Q（1，0），
-

6

5

x-

9

5

=0，x=-1.5，则H（-1.5，0），
∴BH=4-1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，
∴BH=QH，
∵BP∥FG，
∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，
∴△BPH≌△QGH，
∴PH=GH．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数（二次函数、一次函数）的解析式，利用解析式求与坐标轴交点坐标，利用面积法求斜边上的高及三角形全等的性质等；综合性较强，但难度不大，是一道不错的中考压轴题．

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