自然常数e到底自然在哪？

奇妙の自然常数e

    自然常数e 是一个奇妙的数字，这里的e 并不仅仅代表一个字母，它还是一个数学中的无理常数，约等于2.718281828459。

    但你是否有想过，它到底怎么来的呢？为啥一个无理数却被人们称之为“自然常数”？

    说到e，我们会很自然地想起另一个无理常数π 。π 的含义可以通过下图中的内接与外切多边形的边长逼近来很形象的理解。

(图片来源: betterexplained)

    假设一个圆的直径为1，其外切与内接多边形的周长可以构成π 的估计值的取值范围上下限，内接与外切多边形的边越多，取值范围就越窄，只要边数足够多，取值范围上下限就可以越来越逼近圆周率π 。

    如果说π 的计算很直观，那e 呢？所以在此也用一种图解法来直观理解e。

    首先，我们需要知道e 这个表示自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的正是Euler的首字母“e ”。

Leonhard Euler (1707-1783)

(图片来源: Wikipedia)

    但实际上，第一个发现这个常数的，并非欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。

伯努利家族

    伯努利家族是17〜18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。总之，大佬们之间有着千丝万缕的联系。

    要了解e 的由来，一个最直观的方法是引入一个经济学名称“复利(Compound Interest)”。

复利率法（英文：compound interest），是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息除了会根据本金计算外，新得到的利息同样可以生息，因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。—— 维基百科

    在引入“复利模型”之前，先试着看看更基本的 “指数增长模型”。

    我们知道，大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设某种细菌1天会分裂一次，也就是一个增长周期为1天，如下图，这意味着：每一天，细菌的总数量都是前一天的两倍。

(图片来源: betterexplained)

    显然，如果经过x 天（或者说，经过x 个增长周期）的分裂，就相当于翻了x 倍。在第x 天时，细菌总数将是初始数量的2^x 倍。如果细菌的初始数量为1，那么x 天后的细菌数量即为2^x ：

    如果假设初始数量为K，那么x 天后的细菌数量则为K ·2^x ：

    因此，只要保证所有细菌一天分裂一次，不管初始数量是多少，最终数量都将是初始数量的2^x 倍。因此也可以写为：

    上式含义是：第x 天时，细菌总数量是细菌初始数量的Q 倍。

    如果将 “分裂”或“翻倍”换一种更文艺的说法，也可以说是：“增长率为100%”。那我们可以将上式写为：

    当增长率不是100%，而是50%、25%之类的时候，则只需要将上式的100%换成想要的增长率即可。这样就可以得到更加普适的公式：

    这个公式的数学内涵是：一个增长周期内的增长率为r，在增长了x 个周期之后，总数量将为初始数量的Q 倍。

    以上为指数增长的简单实例，下面来看看雅可比·伯努利的发现：

    假设你有1元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（夸张一下，为了方便计算）。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1元的利息（绿色圆），总共两元的余额。

(图片来源: betterexplained)

    现在银行的年利率不变，但银行为了招揽客户，推出一项惠民政策，每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候，你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。

(图片来源: betterexplained)