(2018春·顺义区期末)在正方形ABCD的内侧作直线BM,点C关于BM的对称点为E,直线BM与EA的延长线交于点F,连接BE、CE、CF.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:CF⊥EF;
(3)直接写出线段AB、EF、AF之间的数量关系.
【热门考点】全等三角形的判定与性质;LE:正方形的性质;作图﹣轴对称变换.
【解题思路】(1)根据题意画出图形即可;
(2)利用辅助圆,证明∠FEC
∠ABC=45°即可解决问题;
(3)结论:EF2+AF2=2AB2.利用勾股定理即可解决问题;
【解答】解:(1)图形如图1中所示:
【解题技巧】本题考查了作图﹣轴对称变换、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.
(2016秋·自贡期末)在解决线段数量关系问题中,如果条件中有角平分线,经常采用下面构造全等三角形的解决思路,如:在图1中,若C是∠MON的平分线OP上一点,点A在OM上,此时,在ON上截取OB=OA,连接BC,根据三角形全等判定(SAS),容易构造出全等三角形△OBC和△OAC,参考上面的方法,解答下列问题:
如图2,在非等边△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,且AD,CE交于点F,求证:AC=AE+CD.
【热门考点】全等三角形的判定与性质.
【解题思路】在AC上截取AG=AE,连接FG,根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠AFG,全等三角形对应边相等可得FE=FG,再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°,从而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,然后根据平角等于180°推出∠CFG=60°,然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得FG=FD,从而得证.
【解答】证明:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线,
∴∠1=∠2,3=∠4
在△AEF和△AGF中,∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠ACB=120°,
∴∠2+∠3
(∠BAC+∠ACB)=60°,
∵∠AFE=∠2+∠3,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60,
∴∠CFG=180°﹣∠CFD﹣∠AFG=60°,
∴∠CFD=∠CFG,
【解题技巧】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键.
(2019·福州模拟)(1)已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,求证:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由.
【热门考点】全等三角形的判定与性质.
【解题思路】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,
则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.
【解答】证明:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
【解题技巧】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;得出∠CAE=∠ABD是解题关键.
(2018秋·临洮县期末)如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.
(1)求证:MN=AM+BN.
(2)若过点C在△ABC内作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.
【热门考点】全等三角形的判定与性质.
【解题思路】(1)利用互余关系证明∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°,AC=BC,故可证△AMC≌△CNB,从而有AM=CN,MC=BN,利用线段的和差关系证明结论;
(2)类似于(1)的方法,证明△AMC≌△CNB,从而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BN与MN之间的数量关系.
【解答】证明:(1)∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△AMC和△CNB中,
∠AMC=∠CNB,
∠MAC=∠NCB,
AC=CB,
△AMC≌△CNB(AAS),
AM=CN,MC=NB,
∵MN=NC+CM,
∴MN=AM+BN;
(2)结论:MN=BN﹣AM.
∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△AMC和△CNB中,
∠AMC=∠CNB,
∠MAC=∠NCB,
AC=CB,
△AMC≌△CNB(AAS),
AM=CN,MC=NB,
∵MN=CM﹣CN,
∴MN=BN﹣AM.
【解题技巧】本题考查了全等三角形的判定与性质.关键是利用互余关系推出对应角相等,证明三角形全等.
(2019春·崂山区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°点D在BC的延长线上,且BD=AB.过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:△ABC≌△BDE;
(2)请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系,并说明理由.
【热门考点】全等三角形的判定与性质.
【解题思路】(1)利用已知得出∠A=∠DBE,进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可;
(2)根据全等三角形的性质即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵BE⊥AC,
∴∠A+∠ABE=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠DBE+∠ABE=90°,
∴∠A=∠DBE,
【解题技巧】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
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