作者：未来几何学
初中、高中数学学习，要养成善于思考、归纳整理、举一反三的良好习惯。希望我们能从此笔记中领悟出重要的数学学习方法和技巧，取人之长，补己之短，站在前人的肩膀上，我们才能取得更好的成绩！
很多同学学习了课本觉得勾股定理这一章内容很简单，但深挖其中思想原理后，发现并不简单。
百度图片 勾股定理
一、勾股定理知识点归纳
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a² b²=c²
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，a² b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a² b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
常用的勾股数及其通用公式：
1）3n,4n,5n(n是正整数)
例如：（3、4、5），（6、8、10）......
2) 2n 1,（n是正整数)
例如：（5,12,13），（7,24,25）......
注意：常用简单的勾股数需牢记，出卷老师常以此做文章出考题。
海底暗礁音效
00:06来自未来几何学
二、勾股定理中常用的数学思想方法归纳
2.1、数形结合思想
数形结合思想：就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）
例1图 直角三角形
方法一：利用相似三角形
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF ∠CFA=90°，∠FAD ∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
2.2、化归与转化的思想
化归与转化思想是指将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。
例1、（同例1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
例2图 求线段长
重要领悟：本题利用转化和和化归的思想包含在两个地方：1、将求某条线段的长转化为求相等线段的长，如本题中的CE=FC=FG；2、将求线段长的问题，转化为三角形面积问题，从而轻易的求得FG的长。
2.3、分类讨论的思想
分类讨论的思想是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，或者有些问题包括多种情况时，要分情况讨论。运用分类讨论思想时要注意：每一次分类要按照同一标准；分类时要做到不重不漏。
例3、在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．
【解】∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，
∴AD=AC－CD，
∴AD=9，
BD=BC－CD，
∴BD=5.
如图①，当CD在△ABC内部时，AB=AD＋BD=9＋5=14，
此时，△ABC的周长为14＋13＋15=42；
如图②，当CD在△ABC外部时，AB=AD－BD=9－5=4，
此时，△ABC的周长为4＋13＋15=32.
∴△ABC的周长为32或42.
2.4、函数思想（或函数与方程的思想）
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。
例4、如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm，求△ADE的面积．
重要领悟：利用勾股定理，建立方程是数学解题中常用的思想方法，设未知数把未知的量与已知的量集中到同一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程，然后再解方程得解。
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