终于讲到最后一期了，相比于前两期，这一期理论性有些强。如果您没有看过前几期，可以点击浏览：
1，喷注盘——液体火箭发动机的咽喉
上期讲到，目前双流体同轴喷注器成为几乎所有（实际上，我看到的很多文献中都是用“所有”来形容其地位，在这里我们用“几乎所有”来限定一下）飞行发动机喷注器的喷注单元。其重要性可见一斑。
（数据表明）大多数的不稳定性破坏集中于喷注器面附近。因而喷注器及其有关的稳定性装置（隔板和声腔）是发动机中主要的稳定性和性能控制组件，这些组件和装置是整个稳定性研制工作的基础。
目前，美国所有的氢氧火箭发动机全部采用同轴喷注器。俄罗斯的分级燃烧煤油发动机也采用了相同的设计技术（包括RD-170系列以及RD-180，后者采用同轴旋转喷注器）。
NASA正在测试的液氧-甲烷火箭发动机，也采用同轴喷注器：
这个喷注盘就更典型了，同轴喷注孔口设计为凹面形，将每个同轴喷注头隔离为独立的雾化单元，效果与V-2的“燃烧器杯”一样，也正因此没有设计隔板回首看看94年由S.Stein设计的第一款同轴喷注器，二者何其相似，当年S.Stein为这款产品申请了专利：One ofthe most notable technologies thatresulted from work in the Rocket Laboratoryis the concentric tube injector, invented by S.Stein [“Rocket engine injector,” U.S. Patent No. 3,136,123(1964)].
相比酒精和煤油，液态甲烷的许多物理性质都更加接近液氢，沿用氢氧火箭发动机设计思路也在情理之中（从“梅林”到“猛禽”：“液氧甲烷”+“全流量分级循环”，星级火箭发动机的终级选择？（下））。
2，纷繁多样的同轴喷注器
实际上，同轴喷注器的设计也纷繁多样。在S.Stein设计的第一型喷注盘上，视力可以分辨的就有三种喷注孔。推进剂流过不同的喷注孔，其破碎原理也存在较大的差异。
J-2火箭发动机第一批同轴喷注单元的中心氧化剂管与整个喷注盘齐平。今天我们更多地称之为“平行燃料同轴剪切”型。 后来经过进一步探索，采用了从喷注面延伸出来的各种环形混合区设计，这样大大限制了不同推进剂组元在一开始的接触。采用这种同轴喷注模式燃烧稳定性得到了改进，冷却却成了难题，因而最终不得不将氧化剂喷管从喷注器面内部缩进。上图为航天飞机主发动机同轴喷注器，刚刚提到的NASA在研的液氧甲烷火箭发动机也采用该喷注设计
好吧，是不是很心累，（雾化角）大了不行小了不行，（氢温）热了不行冷了不行，（喷注器位置）宽了不行窄了不行……所有的参数都要被限制在一个很窄的区间内，像个小姑娘一样神（难）秘（以）莫（伺）测（候）。
那么导致根源在哪里？
3，高频燃烧不稳定性
就现象的根源而言，那就是燃烧过程中压力的高频振荡，而且这个振荡频率范围极广，低至几十赫兹，高至数万赫兹，压力振幅更是能够达到几个兆帕甚至几十兆帕。
从F-1到RL-10、J-2再到M-1，我们可以发现在液体发动机的研制过程中，燃烧不稳定性问题是最为棘手的问题。许多试车事件表明，燃烧不稳定性可以在几分之一秒之内引起燃烧室、试验设备甚至飞行器和发射台的严重破坏。
这种高频振荡能够导致敏感的电气元件失效，而高幅值的压力振荡会影响结构强度，严重情况下会导致发动机爆炸。
我们前面讲过，火箭和发动机不是小产品的等比例放大，因为结构增大时，结构基频变低，加之发动机压力振荡频谱如此之宽，系统间非常容易出现耦合共振。
当我们沿着现象追溯物理本质时，就会发现，一切的一切都可以归咎到湍流上来。
湍流的燃烧过程本身就具备高复杂性和强非线性性质，只不过在扰动的早期非线性尚不明显，在我们看来就是线性的。
1，从层流中来，到湍流中去
现在有个隐形的套路，如果你想抬高自己的行业，最好找个数学、物理方面，人人皆知但是人人不懂的一个名词，用来类比自己的行业，比如“纳米”（七八年前特别特别火）和“量子力学”（现在就很火啦）就是个好名词。因而我对朋友搞金融的量子基金、量子投资特别羡慕。
纳米也好，量子也好，都不是信手拈来的。
不过我们生活中有个高大上的现象，就在我们身边。
湍流。
实际上湍流是一个与“量子”齐名，但远比“量子”更古老更让我们苦恼的名词。
相比于“量子”，湍流就在我们身边：呼吸、饮水、血液流动……甚至渴了沏壶茶都能看到湍流。
所以湍流一点也不神秘，如果咱们不了解“量子”，那是因为人的尺度太大了（如果把我们缩小到原子级别，可能就好很多），可如果您不了解湍流，没关系，点支烟看看烟圈，摇一摇花露水，湍流便立即呈现在你眼前。
所以，现在我们至少应该有一个概念，湍流不是韩流、日流，也不是一种像水、油这样的另外一种流体，而是一种流动现象。
最先研究生活中这种司空见惯的流动状态的是英国人雷诺，他在观察圆管内流体运动的时候发现，墨水的染色线（Streakline）有时会变得紊乱起来，不再简单的呈直线状。这个实验直接涉及到了层流到湍流的转捩，“转捩（lie）”是流体中有一个专有名词，转捩的实质是流体分子间的阻力（引力+动量交换，宏观体现就是粘性啦）“Hold不住”分子的惯性。就像妈妈拉不住任性的孩子出去玩一样
然而就是这种司空见惯的现象，流体力学研究了一个多世纪甚至连一个精确的数学定义都给不出来，其难度可想而知。
现在，有多少种研究角度，就有多少种湍流描述。
2，雷诺数从流动稳定性的角度来讲，湍流是一种连续不稳定的流动：大结构不断的发生不稳定，然后破碎；相反的过程也在同步进行，小结构通过某种神秘的相互作用，形成更大的所谓的拟序结构（人们在千奇百怪的湍流流动现象中观察到一些共性，起了这么一个和湍流一样模糊）。从动力系统的角度看，湍流是个非线性演化过程。从统计角度看，湍流是个随机过程（哎，很多时候连高斯分布都不服从）。从能量角度看，湍流更像个“二道贩子”，把大尺度上的能量向小尺度转移，能量在小尺度被消耗（耗散）掉，当然偶尔出现消化不良，能量从小尺度逆向传送到大尺度（逆级联）
一般而言，湍流的发生有几个必备要件：扰动，非线性演化和一定的规模（比如管流的雷诺数，实际上当一个非线性系统超过一定规模时都会有类似湍流的性质）。
关于非线性演化，我们在“浅析液体火箭发动机推进剂喷注雾化与燃烧不稳定性（上）”中进行了粗浅的介绍。
而衡量规模的，就是雷诺数。
人们用雷诺数来衡量流动可以乱成湍流的潜质，雷诺数越大流动越容易乱成湍流。雷诺公式分数线上面是速度与尺度的乘积：速度快代表流动中充满了可以作乱的动能，如果尺度还很大，有足够的空间发展混乱，流动会很容易乱成湍流。
火箭发动机的燃烧不稳定性，就是燃烧领域中一个极端到变态的例子。
3，扰动的根源与三大不稳定性
扰动是湍流的发生的一个必备要件，扰动往往意味着一种不稳定的能量存在，当雷诺数较小时，粘性较大，粘性能够耗散掉这种不稳定能量。而当雷诺数较大时（粘性较小），耗散不掉的扰动便在流体中肆无忌惮地“疯”起来。
那么扰动是怎么来的呢？
这就得讲讲流体中三大不稳定性，它们代表着三种主要的扰动产生方式。
先给大家看个照片，照片里的海浪就是Kelvin-Helmholtz不稳定性的一个实例。
海水密度比空气大，然而照片里的浪尖比波谷处的空气还要高，这显然是个不稳定态。而打破稳定态的就是风（外力）。
海浪可以进一步抽象成两种流体的接触面，密度大的流体在下，速度低；密度小的在上，速度高，这样在它们之间就形成了一个剪切层。
所谓“无风不起浪”，没有风的时候，海面处于平静的层流状态，雷诺数也很小，因而动力相对阻力还很小，顽皮的“孩子”所以被粘性力给牢牢地牵制住了。
风吹，则浪起。
这个时候，粘性力不再是单纯的阻力了，更确切地说，它充当了动力。上层流速高的流体，通过粘性作用，会把下层低速流体的速度也拉高。
当然如果速度不够快或者下面的实在太沉太慢，也会实在带不动。这个时候尽管拉不起来，但是流体在界面上仍然跃跃欲试，这就是涌动。但是不管怎样，速度的剪切通过粘性作用使界面扰动起来了。如果风力小了不会形成浪，只会是涌动；在一样的风力下，如果把海水换成水银，那就浪不起来了
在扰动中，两种流体的界面发生扭曲，一部分重流体激凸到上面轻流体里面去了，同样因为连续性假设，也有一部分轻流体回往下凸进来——这样其实就等于两块流体交换了位置和速度——流体因此发生了混合。
在这个过程中，仍然会有一股力量驱使着扰动的脚步，想要把不稳定的发生给牵制。但这次不是再粘性力了（尽管其耗散作用仍然存在，但是相对于扰动能量来说，耗散掉的十分微少），而是浮力。向上凸入轻流体内的重流体，其受到的浮力不足以抵消自重，还会再下去；对另一种流体亦然。
也就是说在浮力作用下，整个系统想要回归初始的稳定态。
两部分混合的流体不仅交换了位置，也交换了速度。密度大的流体由于上层的带动速度有所提高，而密度小的流体速度降低了。密度大的流体，在同样的速度下，其惯性力也更大，雷诺数的分子就更大——也就是更难被控制——当达到控制不了的程度时，层流即转捩为湍流，形成涡旋。回过头来看，从扰动的发生到转捩的形成，都得益于流体界面一定的速度差。很显然，喷注器形成的射流界面上这种速度差不仅存在，而且非常大。液氧射流速度在几十米每秒，而氢气射流在百米量级。对射流而言，产生扰动的还有另一个更重要的因素——表面张力，相对于界面速度剪切而言，表面张力对高频扰动的作用更加明显。我们在“浅析液体火箭发动机推进剂喷注雾化与燃烧不稳定性（上）”讲到的F-1火箭发动机不稳定现象主要存在四个区域，三个位于喷注面上，第四个就与表面液膜的冷却有关：由于涌动的存在，从燃烧室冷却液膜产生的液体层上脱离的液体燃料会产生脉冲燃烧。
另一种诱发不稳定的原因就是瑞利-泰勒不稳定性（Rayleigh–Taylor instability）。
众所周知，油要比水轻很多，因而我们能够看到路面上水中飘着的油花，那是因为下过雨后路基中的油飘到水面上来了。
所以，对于一个水油界面而言，稳定的主状态是上面这样的：油在上水在下，水面飘着油花
如果油和水的位置颠倒过来，将会怎样？
首先，我们要给予整个系统一些能量，使得较重的流体能上升一个高度，这个能量体现为系统的重力势能增大。
在上图中，在容器中装有水（密度大的重流体）和油（密度小的轻流体），并且水位于油的上方。如果水层和油层界面水平而且没有任何扰动，这个时候两层流体将保持这种状态，（实际上这是一种临界不稳定状态），可是现实中不可能有这么完美的状态，扰动和差异总是存在的，微小扰动就会产生蝴蝶效应，整个系统的重力势能就要降低。
所以，这样的系统是不稳定的：一旦有微小扰动，扰动就会自动地放大，最终彻底破坏原来的平衡状态。
将密度较大的食用油色素覆在水面上，可以清晰地看到水中出现的涡环。驱动流体流动和粘性耗散的能量来自系统降低的重力势能
这就是瑞利-泰勒不稳定线性，它指的是两种密度不同的流体之间的界面的不稳定。在重力场中，当较重的流体位于较轻的流体的上方的时候，不稳定就有可能发生。
现在，你可以把手中的矿泉水倒置过来，或者打开饮水机，就会看到瑞利-泰勒不稳定现象轻流体在重流体中的运动还会形成涡环，海豚吹出的泡泡就是一个涡环。
所以，如果说Kelvin-Helmholtz不稳定性是密度不同的物质界面在切向速度梯度下发生的不稳定性，那么Rayleigh–Taylor不稳定性就是这种密度界面在法向加速度作用下产生的不稳定性。
在火箭发动机射流喷注时，加速作用下的瑞利-泰勒不稳定便会发生。比如推进剂在管路中也会出现汽蚀现象，汽蚀后的气泡还会诱发可压缩瑞利-泰勒不稳定此外，推进剂在离心泵和管路中高速流动也会出现汽蚀现象，汽蚀产生的气泡在射流喷射瞬间释放压力，诱发可压缩瑞利-泰勒不稳定。上图为一型火箭发动机离心泵结构，该泵工作时出现气蚀对发动机而言是个要命的事情
不论是切向速度梯度还是法向加速度，其本质都会在流体界面上产生扰动波。自然界中还存在另一种扰动波，它以超声速传播，那就是激波。
当这种具有初始扰动的流体分界面受到运动激波的冲击后，界面的波峰波谷处将产生速度差异，并促使扰动演化生长，并最终演化为湍流。
这就是Richtmyer-Meshkov不稳定。
火箭发动机燃料喷注中，雾化介质经过喷管壁再生冷却变为气体，喷出管口的速度往往超过声速，速度振荡不可避免的带来激波与膨胀波的干扰与叠加。
在自由空间中，激波和燃烧引起的压力扰动会向环境中自由扩散，逐步耗散掉。在燃烧室这样近似于封闭的声腔当中，激波或者普通的压力波遇到发动机壁面再次发生反射、折射，就会导致高频燃烧不稳定发生。
振荡在封闭声腔中的激波/膨胀波不断与射流液柱和液滴相互作用，产生Richtmyer-Meshkov不稳定现象。
射流受到扰动会由轴对称流动变为非轴对称，发生流动模式的转变而激波与液滴的作用，将会影响液滴的二次破碎。尽管许多试验数据表明，液滴的首次破碎对高频振荡起得决定作用更大，二次破碎在某些方面会影响一次破碎，特别是两个过程相互重叠时。上面这张是电脑里珍藏着的激波与气泡的作用的仿真图片，分享给大家吧。该成果发表在流体顶级期刊Annual Review上
Kelvin-Helmholtz，Rayleigh–Taylor以及Richtmyer-Meshkov是流体力学中三种主要的流动不稳定现象，它们齐集在火箭发动机燃烧不稳定中，与燃烧相互耦合。界面扰动振幅演化经历初期的线性阶段，中期的非线性阶段后进入湍流混合燃烧阶段。
4，消逝在破碎中
看来，湍流才是燃烧不稳定的罪魁祸首喽？
所谓成也萧何败也萧何。
没有湍流，射流就停留在层流这个阶段而不会破碎，燃烧的模式永远是液面燃烧（关于燃烧的几种模式，我们在“浅析液体火箭发动机推进剂喷注雾化与燃烧不稳定性（上）”已经聊过）。
湍流发展过程中，推进剂会以不同尺度破碎，统计学上这个破碎尺度近似呈正态分布，破碎的推进剂液滴之间相互掺混-燃烧。掺混的均匀程度和破碎液滴大小的不同将引发不同烈度的燃烧，燃烧释放的压力波差异便由此而来。
如果我们能用函数（实际上是一组）表示这个过程，哪怕是湍流演化初期，事情似乎就不会变得如此抽象。
在流体力学中，这组函数方程就纳维-斯托克斯（N-S）方程。
N-S方程的求解问题是Science公布的125个科学前沿问题的第122个，所以目前不要指望求解这个方程来了解流体的运动
法国数学家傅里叶告诉我们，任何函数（满足狄利克雷条件）都能够用三角函数级数收敛。当然了，N-S方程中的速度、压力这些函数也能展开。
在物理世界里，傅里叶展开告诉我们物理量可以表示成一系列模态（也就是三角函数）的线性叠加（可以简单理解为“相加”）。把这些物理量放进微分方程（比如N-S方程）当中，就能将运动描述成各个模态的线性叠加，而每一种模态对应一个特征根。
在方程中，各个物理量会拖着这个三角（函数）级数相乘。拜和差化积所赐，相乘后的物理量会“繁衍”出更多的模态。更多的模态会“繁衍”更多更多的模态。
现在，由流体扰动带来了推进剂液滴雾化的差异，而雾化的推进剂燃烧释放能量又会带来压力扰动，反馈给流动。
5，耦合是件很棘手的事儿
研究各种物理过程影响的主要困难在于燃烧过程中存在多种不同的现象：注入流体的动力学特性，喷雾形成过程，单个液滴的运输特性，湍流多相流运动特性，湍流环境中液滴燃烧的化学现象。
这些物理过程在有限空间和极短时间尺度上存在巨大差异且相互之间非常接近、强烈耦合。迄今为止，适用于改进燃烧装置设计的最大和最可靠的信息来源于发动机测试的实验数据。
来自2012 ComputationalCombustion Laboratory
在燃烧过程中，不同物理过程之间还存在反馈：燃烧室中推进剂流动、雾化、混合过程中的扰动产生能量释放率的波动，能量波动导致了声腔振荡，声腔振荡进一步引起流场参数波动，三个作用形成闭环。
现今，消除或抑制燃烧不稳定性有主动控制和被动控制两类方法。
在过去几十年的实践中，抑制燃烧不稳定性的主要方法是被动控制，由于高频燃烧不稳定性发生的主要因素是声学振荡，因此最开始工程师们采用加装隔板，设置声腔的被动阻尼控制方法，改变燃烧室的声学特性。其中，最为典型的就是土星五号的F-1火箭发动机。
隔板控制在实际工程应用中，一般安装在喷注面，通过突出一定高度的隔板将喷注面划分成多个区域，在喷注面安装隔板之后，由于隔板在径向和切向方向上起到了阻隔压力波（包括激波）的作用，从而直接改变了切向和横向震荡的固有频率，使燃烧室的声学特征发生改变。
隔板的几何形状一般由圆通形的周向隔板和由周向隔板向外呈辐射状的径向隔板组成。在大型火箭发动机中，一般采用伸出喷嘴隔板。
为了进一步改变燃烧室声振特性，喷注器周围一般会加工出环形槽声腔，槽型结构导致出口处存在压力振荡时形成射流，由此产生大量的涡流，耗散较大能量，阻尼了振荡。
采用3D打印技术制造的喷注头
与此截然不同的是，主动控制通过监测器将燃烧室工作状态进行实时监测，对监测到的压力振荡进行控制调整，以抑制燃烧不稳定性。目前主动控制实验中应用价值最好的是高频调制燃料喷嘴。高频调制燃料喷嘴的作用机理是通过调节推进剂流量，产生与燃烧不稳定振荡频率一致，振动相位相反的振荡，从而与燃烧不稳定振荡相互抵消。
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11，Mass Flow Rate and Isolation Characteristics of Injectors for Use with Self-Pressurizing Oxidizers in Hybrid Rockets. By Benjamin S. Waxman.
12，Liquid-Propellant Rocket Engine Throttling:A Comprehensive Review. By Matthew J. Casiano.
13，Cold Flow Testing for Liquid Propellant Rocket Injector Scaling and Throttling. By R. Jeremy Kenny et al.
14，Scaling of Performance in Liquid Propellant Rocket Engine Combustion Devices. By James R. Hulka et al.
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