初中数学：浅谈“折叠问题”的教学策略

浅谈“折叠问题”的教学策略

“折叠”作为图形的运动形式，题型多样，变换灵活，且多以其为主要载体综合其他几何图形知识进行考察．因图形及其关系多变，又融合较多数学知识，成为学生的学习难点．学生在考试过程中解有关“折叠”的问题，不能只靠动手操作来解决，需要透过现象想象折叠问题的本质，才能迅速找到破解折叠问题的方法．那么折叠的本质是什么呢？常见的折叠都有哪些类型呢？在初中数学中有哪些常见的折叠问题和解决策略呢？

一、折叠问题的类型

1

点与点重合的折叠

如图1，长方形纸片AB∞，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF.

点与点重合的折叠中伴随哪些数学知识呢？当点D与点B重合，那么折痕为朋即为线段加的垂直平分线，进一步可以根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）得到对应相等的线段．

2

边与边重合的折叠

如图2，在三角形纸片ABC中，∠ACB= 90⁰，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合一，A与BC延长线上的点D重合．

    边与边重合的折叠中伴随哪些知识呢？结合上述折叠来认识一下，当边AB的一部分与边BC重合时，此时AB与AD重合，那么折痕为BE即为线段AD的垂直平分线，同时BE也是∠ABD的平分线，除了根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）得到对应相等的线段以外，还可以根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得到对应相等的线段．

3

按指定折痕的折叠

如图3，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD'，AD'与BC交于点E．

按指定折痕的折叠中伴随哪些数学的知识呢？结合上述折叠再来认识一下，当折痕为AC时，可以根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）得到对应相等的线段，也可以根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得到对应相等的线段．

二、折叠问题的本质

不论是上述哪种折叠，结合上述折叠的过程，我们可以看出图形在折叠前位置的图形与折叠后位置的图形是全等形．那么折叠问题的本质是什么呢？我们不难发现：折叠问题本质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质（如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂真平分线）来分析问题和解决问题

三、常见的折叠问题和解决策略

首先，不论哪种折叠类型，都要观察图形，找出图形折叠前位置和折叠后位置的图形（全等形）的位置的变化，认真体会位置变化后带来的意义，再根据图形的具体情况找出折痕的数学意义，也就是折痕平分了哪些角？折痕垂直平分哪些线段？ 

其次，根据具体折叠情况结和相应的其他知识进行分析和解题．

1.

折叠出现的等腰三角形问题.

     例1 已知：如图4，长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF.△BEF是等腰三角形

吗？若是，请说明理由。

 解决策略：“角平分线+平行线伴随着等腰三角形的出现”是常见的数学活动经验之一．通过观察图形折叠前位置和折叠后位置的图形，可以发现属于点与点重合的折叠，折

痕EF是∠DEB的平分线，也就∠DEF=∠BEF

，根据矩形的性质又可以得到∠DEF=∠BEF

，进一步得到∠BEF=∠BFE，也就得到了BE=BF，所以△BEF是等腰三角形．

2.

折叠后构成直角三角形问题

例2 已知：如图5，长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若AB=4，AD=8，求BE的长．  

解决策略：“运用勾股定理列方程求解”是常见的数学活动经验之一．运用勾股定理列就要存在直角三角形，在折叠过程中我们观察图形折叠前位置和折叠后位置的图形属于点与点重合的折叠，可以发现DE=BE，也可以看成是线段AD沿着点E弯折后到BE的位置上，这样一来AB,AE, BE构成一个直角三角形，而AB=4，AE +BE=8，这时可以设BE的长为x，则AE的长为8-x，根据勾股定理可以列出

方程，4² +(8-x)²=x²，解方程可以得出x=5．

练习1：如图6，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90⁰，BC=6，AB=10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为         。

练习2：如图7所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD'，AD'与BC交于点E，若AD=4，DC=3，求BE的长

不难发现上面的练习1属于边与边重合的折叠，练习2属于按指定折痕的折叠，练习1和练习2都是折叠后构成直角三角形运用勾股定理列方程求解，在折叠过程中只须观察图形折叠前位置和折叠后位置的图形，就可以找出直角三角形列出方程求解．

例3 如图8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AC折叠到△AFE，使点F在矩形内，连接CF，求CF的长．

解决策略：运用勾股定理列方程融合三角形中位线等其他知识．在折叠过程中我们观察图形折叠前位置和折叠后位置的图形属于按指定折痕的折叠，可以发现AE垂直平分BF，连接BF（如图9），由点G为BF的中点，点E为BC的中点，可知GE为△BFC的中位线．求CF的长，只要求出BG或FG的长就可以求出CF的长．在Rt△ABE中，∠ABE=90⁰，AB=4，BE=3，可得AE=3．根据面积法可求BG=2.4，所以CF=2BG= 4.8．