2022年河南省信阳市中考数学一模试卷及答案

15．李明用一张矩形纸片玩折纸游戏．如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，然后把纸片展平；如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C′F交DE于点N．已知AB＝4，AD＝3，则

的值为　　．

三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（10分）（1）计算：|

﹣2|+（

）⁰﹣

；

（2）化简：

÷（1﹣

）．

17．（9分）国家实施“双减”政策后，学生学业负担有所减轻，很多家长选择利用周末时间带孩子去景区游玩．某调查小组从去过南湾湖和鸡公山的学生中各随机抽取了20名学生对这两个景区分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息．

南湾湖景区得分情况：

7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．

抽取的学生对两个景区分别打分的平均数、众数和中位数如表．

	平均数	众数	中位数
南湾湖	8.2	9	b
鸡公山	7.8	c	8

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求上述图表中的a，b，c的值；

（2）根据上述数据，你认为去过这两个景区的学生对哪个景区评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）．

18．（9分）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB＝2

．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y＝

上，说明理由．

19．（9分）据《映象网》2022年2月17日报道，为了增加绿地，还绿于民，提升景观质量，作为承载着很多郑州人记忆的标志性建筑——人民公园摩天轮可能面临拆除．消息传出后，市民纷纷前来打卡，乘坐“最后一次”．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱．乘客坐在摩天轮上，可以从高处俯瞰四周景色．如图是建在山上的一个摩天轮的示意图，小华在A处测得摩天轮顶端D的仰角为54°，然后乘坐缆车到达B处，已知AE∥BF，AB的坡度i＝3：4，且AB＝40m，BC＝50m，CD⊥BF于点C，求摩天轮的高度CD．（精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）

20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若CF＝1，∠ACB＝60°，求图中阴影部分的面积．

21．（9分）随着2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某网店2021年12月份上架了“冰墩墩”和“雪容融”，当月售出了100个“冰墩墩”和40个“雪容融”，销售总额为14800元．2022年1月售出了160个“冰墩墩”和60个“雪容融”，销售总额为23380元．

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

（2）店主2022年2月又购进了200个“冰墩墩”和160个“雪容融”上架到网店，在“冰墩墩”售出

，“雪容融”售出

后，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价3a元销售，很快全部售完．若要保证本月销售总额不低于32500元，求a的最小值．

22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为抛物线的顶点，动点Q在y轴右侧的抛物线上，是否存在点Q使∠QCO＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．

23．（10分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．

（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　　；

（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．

2022年河南省信阳市中考数学一模试卷（1）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【解析】|﹣

|＝

．

故﹣

的绝对值是

．

故选：C．

2．【解析】71.08亿＝7108000000＝7.108×10⁹．

故选：A．

3．【解析】从几何体的正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、2，

故选：D．

4．【解析】A．a⁴·a²＝a⁶，故此选项不合题意；

B．（a²）³＝a⁶，故此选项符合题意；

C．（3a）²＝9a²，故此选项不合题意；

D．2a⁸÷a²＝2a⁶，故此选项不合题意；

故选：B．

5．【解析】∵EG⊥AB，AB∥CD，

∴∠AEG＝∠DGE＝90°，∠CFE+∠AEF＝180°，

∵∠FEG＝25°，

∴∠AEF＝90°﹣∠FEG＝65°，

∴∠CFE＝180°﹣∠AEF＝115°．

故选：D．

6．【解析】A．矩形的对角线平分且相等，说法正确，故本选项不合题意；

B．矩形的四个角都是直角，说法正确，故本选项不合题意；

C．矩形有两条对称轴，原说法错误，故本选项符合题意；

D．矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，故本选项不合题意．

故选：C．

7．【解析】Δ＝（﹣b）²+4c＝b²+4c．

∵c＞0，

∴b²+4c＞0，即Δ＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

8．【解析】把“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤“闷罐肉”这5个特色美食分别记为A、B、C、D、E，

画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中某游客抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的结果有2种，即AB、BA，

∴他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为

＝

，

故选：C．

9．【解析】如图，过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于H，

∵将△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，

∴AD＝AF＝2，∠DAF＝60°，

∴∠FAH＝30°，

∴FH＝

AD＝1，AH＝

FH＝

，

∴BH＝2

，

∴BF＝

＝

，

故选：A．

10．【解析】由题意可知，当x＝0时，点M与点B重合，此时y＝12，即

·BP·AQ＝12；

当x＝6时，点M与点P重合，即BP＝BM＝6，

∴AQ＝4，

由折叠可知，BQ＝PQ＝3，∠AQB＝90°，

由勾股定理可得AB＝5，

∴BC＝AB＝5，

∴菱形ABCD的面积为5×4＝20．

故选：D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

11．【解析】当分式

＝0时，

，

解得

，

∴x＝﹣3，

即x的值为﹣3，

故答案为：﹣3．

12．【解析】把（4，9）代入y＝（3﹣k）x+1得4（3﹣k）+1＝9，

12﹣4k+1＝9，

4k＝4，

解得k＝1，

所以直线l得解析式为y＝2x+1．

故答案为：y＝2x+1．

13．【解析】因为甲、乙的平均数比丙大，

所以甲、乙的产量较高，

又乙的方差比甲小，所以乙的产量比较稳定，

即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的板栗树进行种植，则应选的品种是乙；

故答案为：乙．

14．【解析】连接AC，

∵AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝90°，

∴BC为直径，

取BC中点O，连接OA，则∠BOA＝60°，OB＝1，

∴

的长为

＝

．

故答案为

．

15．【解析】连接C'E，如图：

∵矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，

∴AE＝A'E，AD＝A'D，∠A＝∠EA'D＝∠ADA'＝90°，∠ADE＝∠A'DE＝45°，

∴四边形AEA'D是正方形，

∴AE＝AD＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝1，

∵矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，

∴B'C'＝BC＝AD＝AE，B'E＝BE＝1，

在Rt△AC'E和Rt△BEC'中，

，

∴Rt△AC'E≌Rt△BEC'（HL），

∴AC'＝B'E＝1，

∴C'D＝AD﹣AC'＝2，

在Rt△CDF中，设DF＝x，则C'F＝CF＝CD﹣x＝4﹣x，

∴2²+x²＝（4﹣x）²，

解得x＝

，

∴DF＝

，C'F＝

，

∵∠B'C'F＝90°，

∴∠DC'F＝90°﹣∠AC'M＝∠AMC'，

∵∠A＝∠C'DF＝90°，

∴△AC'M∽△DFC'，

∴

＝

．

故答案为：

．

三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．解：（1）原式＝5﹣2+1﹣5＝﹣1；

（2）原式＝

÷（

﹣

）

＝

．

17．解：（1）由题意，得a%＝1﹣20%﹣20%﹣10%﹣

＝15%，故a＝15；

南湾湖景区得分从小到大排列为：6、6、6、7、7、7、7、8、8、8、9、9、9、9、9、9、10、10、10、10，排在中间的两个数为8、9，故b＝（8+9）÷2＝8.5；

由题意，得c＝8；

（2）南湾湖景区得分的平均数，众数和中位数均比鸡公山的得分高，故南湾湖景区评价更高．

18．解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，

∴A（

，0），B（0，b），

∴OA＝

，OB＝b，

∵AB²＝OA²+OB²，

∴（2

）²＝（

）²+b²，解得b＝4（负数舍去），

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．

（2）由（1）可知OA＝2，OB＝4，

作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，

∵正方形ABCD，

∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠DAF．

在△ADF和△BAO中，

，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴AF＝BO＝4，DF＝AO＝2，

∴点D的坐标为（6，2），

∵6×2＝12，

∴点D在双曲线y＝

上．

19．解：过点B作BM⊥AE于点M，延长DC交AE于G，

∵斜坡AB的坡度（或坡比）i＝3：4，AB＝40m，

∴设BM＝3x（m），则AM＝4x（m）．

则AB＝5x （m），

∴5x＝40，

解得x＝8，

∴BM＝24m，AM＝32m，

∵四边形BMGC是矩形，

∴CG＝BM＝24m，MG＝BC＝50m，

∴AG＝AM+MG＝32+50＝82（m）．

在Rt△ADG中，

∵∠DAG＝54°，

∴DG＝AG·tan54°≈82×1.38＝113.16（m），

∴DC＝DG﹣CG＝113.16﹣24≈89.2（m）．

∴摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长约为89.2m．

20．（1）证明：连接AD、OD，如图所示．

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AC＝AB，

∴点D为线段BC的中点．

∵点O为AB的中点，

∴OD为△BAC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△CFD中，CF＝1，∠C＝60°，

∵AC＝AB，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB＝4．

∵OD∥AC，

∴∠DOG＝∠BAC＝60°，

∴DG＝OD·tan∠DOG＝2

，

∴S_阴影＝S_△_ODG﹣S_扇形_OBD＝

DG·OD﹣

πOB²＝2

﹣

π．

21．解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，

依题意得：

，解得：

．

答：“冰墩墩”的销售单价为118元，“雪容融”的销售单价为75元．

（2）依题意得：118×200×

+75×160×

+118×

×200×（1﹣

）+（75﹣3a）×160×（1﹣

）≥32500，

解得：a≥8．

答：a的最小值为8．

22．解：（1）由题意得，

，

∴

，

∴y＝﹣x²+2x+3；

（2）如图，

存在Q，理由如下：

作PE⊥OC于E，CQ交AB于D，连接CP，

∵y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4，

∴P（1，4），

∴PE＝1，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB＝3，CE＝1，

∴CE＝PE＝1，

∵∠BOC＝∠PEC＝90°，

∴∠PCE＝∠CPE＝45°，∠BCO＝∠CBO＝45°，

∴∠PCB＝45°，PC＝

，BC＝

，

∵∠PCB＝∠COD＝90°，∠QCO＝∠PBC，

∴△COD∽△BCP，

∴

＝

，

∴OD＝

OC＝1，

∴D（1，0），

设直线CQ的解析式是：y＝kx+b，

∴

，

∴

，

∴y＝﹣3x+3，

由

得，

，

∴Q（5，﹣12）．

23．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，

∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，

∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，

∴△DBA≌△EAC（AAS），

∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE，

故答案为：DE＝BD+CE．

（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，

∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，

∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，

∴△DBA≌△EAC（AAS），

∴BD＝AE，AD＝CE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形，理由如下，

∵α＝120°，AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF＝60°，

∵AB＝AF＝AC，

∴△ABF和△ACF是等边三角形，

∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，

同（2）理得，△BDA≌△EAC，

∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，

∴∠FAD＝∠FCE，

∴△FAD≌△FCE（SAS），

∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，

∴△DEF是等边三角形．

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