2021年河南省洛阳市中考数学二模试卷及答案

2．2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学记数法表示为（　　）A．2.05×108米 B．2.05×1011米 C．20.5×1010米 D．20.5×1011米3．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．75°4．下面运算结果为a6（a≠0）的是（　　）A．a3+a3 B．a8÷a2 C．a2·a3 D．（﹣a2）35．小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：

他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（　　）A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤6．如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（　　）

A．只有② B．只有①④ C．只有①②④ D．①②③④都正确7．对于一元二次方程x2﹣5x+c＝0来说，当c＝

时，方程有两个相等的实数根，若将c的值在

的基础上减小，则此时方程根的情况是（　　）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根8．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程（　　）的解．

A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝64 C．x2+10x＝39 D．x2+10x＝999．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣1﹣2012…

y＝ax2+bx+c…tm22n…

且当x＝﹣

时，与其对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＜0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③a＜﹣

；④m+n＞﹣

，其中，正确结论的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．310．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣5，0），C（5，10），点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点G的坐标为（　　）

A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（3，﹣4）二、填空题：（每题3分，共15分）11．写一个介于

与

+1之间的无理数是　　．12．如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是　　．

13．如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是　　．

14．如图，扇形OAB的半径OA＝2厘米，圆心角∠AOB＝45°，点C是

的中点，点D、E分别是半径OA、OB上的点，且OD＝OE，CD＝CE，CD⊥CE，则图中阴影的面积为　　平方厘米．

15．如图，点M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，且AB＝4厘米，AD＝8厘米，点P是线段BN上的一个动点，且不与端点B、N重合，把四边形ABPM沿直线MP折叠，点A、B落在A′、B′处，当△A′NC是等腰三角形时，线段BP的长为　　厘米．

三、解答题：（共8大题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（

﹣x+y）÷

，其中y＝﹣4，x的值从64的平方根或立方根中选取一个合适的数．17．（9分）今年3月中旬，我校对九年级全体学生进行了中招体考模拟测试，并从甲、乙两班中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析，下面给出了部分信息：甲班20名学生体育成绩：33，35，36，39，40，41，42，43，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，50，50．乙班20名学生体育成绩中得分大于等于40且小于45的数据是：40，43，41，44，42，41．（一）整理数据：按如下分段整理样本数据并绘制表格：体育测试成绩x（分）30≤x＜3535≤x＜4040≤x＜4545≤x≤50

等级DCBA

甲班人数13ac

乙班人数2b6d

（二）分析数据：甲、乙两班被抽取学生体育成绩统计表：

平均数中位数众数方差

甲班43.845.5n24.85

乙班42.5m4522.34

（三）描述数据：甲、乙班被抽取学生体育成绩扇形统计图：

根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝　　，b＝　　，m＝　　；（2）求甲班学生体育测试成绩的众数n的值，并说出这个数据的实际意义．（3）学校九年级学生共1200人，估计全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数是多少？18．（9分）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝

，cos37°＝

，tan37°＝

，

≈1.73）

19．（9分）第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：※每个大盘的批发价比每个小盘多120元；※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；※※※每套组合瓷盘的批发价为320元.

根据以上信息：（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套500元，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘x个．①试用含x的关系式表示出该商户计划获取的销售额；②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额．20．（9分）如图，在△ABC中，AC＝

BC，以BC为直径的半圆O交边AB于点D，AC切半圆O于点C，点G是

上不与点C、D重合的任意一点，连接BG，CD交于点E，连接CG并延长，交AB于点H．（1）求证：

＝

；（2）①若AC＝4，且点G是

的中点，则DE的长为　　；②当四边形CODG是菱形时，则∠GBD＝　　．

21．（10分）抛物线y＝ax2+bx+3顶点为点D（1，4），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a和b的值；（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．（10分）小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题：如图①，点P是⊙O的弦AB上的一点，且AP＝4cm，BP＝2cm，直径MN经过点P，点C是

上一动点，圆的另一条弦CD经过点P，连接BD，当△BPD是等腰三角形时，求线段PC的长度．

小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整：（1）线段BP＝2cm，而线段BD、PD的长度和点C的位置有关．现根据点C在

上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PC、PD、BD的长度，得到下表的几组对应值．位置编号1234567891011

PC/cm2.002.332.502.753.003.333.503.754.004.394.52

PD/cm4.003.443.202.91a2.402.292.13b2.101.79

BD/cm6.005.405.124.484.253.783.523.182.822.251.62

操作中发现：①考虑测量有一定误差，发现线段PC、PD的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中a、b的值是：a＝　　，b＝　　．②写出①中线段PC、PD长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由．（2）将线段PC的长度作为自变量x，BP和BD的长度都是x的函数，分别记为yBP和yBD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBP的图象，如图②所示．请在同一个坐标系画出函数yBD的图象；

（3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当△BPD为等腰三角形时，线段PC长度的近似值．（结果保留一位小数）23．（11分）（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB＝

AD，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作对角线AC的垂线，垂足为F，点M为AE的中点，连接MB、MF、BF．可知△MBF的形状为　　．（2）深入探究：如图②，将△CEF在平面内绕点C顺时针旋转，请判断△MBF的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长EF到E′，使E′F＝EF，延长AB到A′，使A′B＝AB，连接CE′，AE′，A′E，构造全等三角形进行证明）．（3）拓展延伸：如果AD＝3，CE＝2，在△CEF旋转过程中，当点A，E，F在同一条直线上时，请直接写出MF的长．

2021年河南省洛阳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．【解析】A．根据绝对值的定义，

，那么A不符合题意．B．根据绝对值的定义，

，那么B不符合题意．C．根据绝对值的定义，

，那么C不符合题意．D．根据绝对值的定义，

，那么D符合题意．故选：D．2．【解析】2.05亿千米＝205000000千米＝205000000000米＝2.05×1011米．故选：B．3．【解析】∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，∴∠4＝55°，故选：C．

4．【解析】A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、a8÷a2＝a6，故B符合题意；C、a2·a3＝a5，故C不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D不符合题意；故选：B．5．【解析】∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，∴④⑤的选项重复，故选取合理的是①②③．故选：A．6．【解析】选出一个画出阴影，使它们与图中五个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是：②．故选：A．7．【解析】由题意可知：Δ＝25﹣4c，当c＜

时，∴25﹣4c＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：C．8．【解析】∵四边形AIFH是面积为64的正方形，∴（x+5）2＝64，整理得：x2+10x＝39，故选：C．9．【解析】当x＝0时，c＝2，当x＝1时，a+b+2＝2，∴a+b＝0，a＝﹣b，∴abc＜0，①正确；∵x＝

是对称轴，x＝﹣2时y＝m，则x＝3时，y＝m，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根；②错误；∵a＝﹣b，∴y＝ax2﹣ax+2，∵x＝﹣

时，y＜0，则a×（﹣

+2＜0，∴

a＜﹣2，∴a＜﹣

，③正确；当x＝﹣2时，y＝m，则a（﹣2）2+2a+2＝m，m＝6a+2，当x＝2时，y＝n，则a×（2）2+（﹣2）a+2＝n，n＝2a+2，∴m+n＝8a+4，∴a＝

，又∵a＜﹣

，∴

＜﹣

，∴m+n＜﹣

，④错误；故选：C．10．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝10，∠C＝∠ABF＝90°，∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，∴CE＝BF＝5，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠BAF＝∠CBE，∵∠BAF+∠BFA＝90°，∴∠FBG+∠BFG＝90°，∴∠BGF＝90°，∴BE⊥AF，∵AF＝

＝

＝5

，∴BG＝

＝2

，过G作GH⊥AB于H，∴∠BHG＝∠AGB＝90°，∵∠HBG＝∠ABG，∴△ABG∽△GBH，∴

＝

，∴BG2＝BH·AB，∴BH＝

＝2，∴HG＝

＝4，∴G（3，4），∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（4，﹣3），第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣3，﹣4），第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣4，3），第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（3，4），…，∵2021＝4×505+1，∴每4次一个循环，第2021次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转1次，∴第2021次旋转结束时，点G的坐标为（4，﹣3）．解法二：直线AF解析式：y＝

，直线BE解析式：y＝﹣2x+10，联立方程组很容易就求出点G坐标（3，4）．故选：C．

二、填空题：（每题3分，共15分）11．【解析】∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，∴1.4＜

＜1.5，∴2.4＜

+1＜2.5，∵22＝4，2.42＝5.76，∴2＜

＜2.4，∴介于

与

+1之间的无理数可以是

，故答案为：

．12．【解析】根据题意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣

＜x＜0，则x的范围是﹣

＜x＜0，故答案为：﹣

＜x＜013．【解析】如图，把第一个中“2”平均分成两部分，

用树状图表示如下：

共有6种情况，和为4的情况数有2种，所以概率为

；故答案为

．14．【解析】如图，连接OC，DE交于点T，在OT上取一点J，使得OJ＝EJ．

∵

＝

，∴∠BOC＝∠COA＝

∠AOB＝22.5°，∵OE＝OD，CE＝CF，∴OC垂直平分线段DE，∴ET＝DT，∵∠ECD＝90°，∴CT＝ET＝DT，设CT＝ET＝TD＝xcm，∵EJ＝JO，∴∠EOJ＝∠OEJ＝22.5°，∴∠EJT＝∠EOJ+∠OEJ＝45°，∴ET＝TJ＝DT＝CT＝x（cm），OJ＝EJ＝

x（cm），∴2x+

x＝2，∴x＝2﹣

，∴DE＝（4﹣2

）cm，∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形EODC＝

﹣

×2×（4﹣2

）＝（

﹣4+2

）cm2．故答案为：（

﹣4+2

）．15．【解析】∵M、N分别是矩形ABCD的对边AD、BC的中点，把四边形ABPM沿直线MP折叠，点A、B落在A′、B′处，由题意可知，A'M＝AM＝

AD＝4厘米，CN＝

BC＝

AD＝4厘米，①当A'C＝CN＝4厘米时，A'M＝A'C，∵CD＝AB＝MN＝4厘米，四边形MNCD内不可能存在点A'使A'M＝A'C＝4，故舍弃；②当A'N＝CN＝MN＝A'M＝4厘米时，则△A'MN为等边三角形，∴∠A'MA＝90°+60°＝150°，∴∠A'MP＝∠AMP＝75°，连接BM，过P作PQ⊥BM于点Q，

∴∠AMB＝45°．∴∠BMP＝75°﹣45°＝30°，∵PQ⊥BM，∠PBM＝45°，∴BQ＝QP，设BQ＝QP＝a厘米，则QM＝

a厘米，∴BQ+QM＝BM＝

AB，即a+

a＝4

，∴a＝2

﹣2

，∴BP＝

a＝（4

﹣4）厘米；③当A'N＝A'C时，连接A'D，

∵A'N＝A'C，∴点A′在NC的垂直平分銭上，∵MD∥CN，∴A'D＝A'M＝AM＝DM，∴△A'DM为等边三角形，∴∠A'MD＝60°，∴∠A'MN＝30°，∠AMA'＝180﹣60°＝120°，由折叠得，A'MP＝

∠AMA'＝60°，∴∠NMP＝30°，∴NP＝

MN＝

厘米，∴BP＝BN﹣NP＝（4﹣

）厘米．綜上所述，BP的长为（4

﹣4）厘米或（4﹣

）厘米．故答案为：（4

﹣4）或（4﹣

）．三、解答题：（共8大题，满分75分）16．解（

﹣x+y）÷

＝

＝﹣x（x+y）＝﹣x2﹣xy，∵64的平方根是±8，64的立方根是4，∴x的值可以是±8或4，∵y＝﹣4，x+y≠0，x﹣2y≠0，∴x≠4，x≠﹣8，∴x＝8，y＝﹣4时，当x＝8时，原式＝﹣x2﹣xy＝﹣82﹣8×（﹣4）＝﹣64+32＝﹣32．17．（1）甲班成绩在40≤x＜45有：40，41，42，43，44，45，45，共5个，故a＝5；b＝20×20%＝4；共有20名学生，处在第10、11位的两个数的平均数为（42+43）÷2＝42.5，故m＝42.5；故答案为：5；4；42.5；（2）因为48出现的次数最多，所以n＝48，说明甲班较多人体育成绩达到48分；（3）根据题意得：甲班体育成绩优秀（x≥45）的学生人数有9人，B班体育成绩优秀（x≥45）的学生人数有20×（50%﹣10%）＝8（人），1200×

＝570（人），答：全年级体育成绩优秀（x≥45）的学生人数约570人．18．解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，则四边形MEGN为矩形，∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），在Rt△AMN中，sin∠AMN＝

，cos∠AMN＝

，∴AN＝AM×sin37°≈10×

＝6（cm），MN＝AM×cos37°≈10×

＝8（cm），∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），∵∠ACG＝60°，∴CG＝

＝

≈19.60（cm），∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm），答：EC的长约为27.6cm．

19．解：（1）设每个大盘的批发价是a元，则每个小盘的批发价是（a+120）元，（a+120）+4a＝320，解得，a＝40，a+120＝160，答：每个大盘的批发价是160元，每个小盘的批发价是40元；（2）①设该商户购进大盘x个，则该商户购进小盘的数量是（5x+18）个，销售额为w元，w＝

×500+

×300+（5x+18﹣4×

）×80＝640x+1440，即该商户计划获取的销售额为（640x+1440）元；②x+5x+18≤320，解得，x≤50

，∵x为整数，∴x≤50且x为整数，∵w＝640x+1440，∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝33440，5x+18＝268，答：当购买50个大盘，268个小盘时可以获得最大销售额，最大销售额是33440元．20．（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠CDH＝90°，∵∠DBG＝∠DCG，∴△BDE∽△CDH，∴

＝

；（2）①如图，连接OD，OG，

∵AC切半圆O于点C，∴∠ACB＝90°，∵AC＝

BC＝4，∴tan∠ABC＝

＝

，BC＝

，∴∠ABC＝60°，∴∠COD＝2∠ABC＝120°，∵G是

的中点，∴∠COG＝∠DOG＝60°，∴∠BOD＝60°，∠DBG＝30°，∴∠BCD＝30°，∵∠BDC＝90°，∴BD＝BC·cos∠ABC＝

×cos60°＝

＝

，∴DE＝BD·tan∠DBG＝

×tan30°＝

＝

，故答案为：

；②如图，连接DG，

∵四边形CODG是菱形，∴DG＝OD，∵OD＝OG，∴DG＝OD＝OG，∴△ODG是等边三角形，∴∠DOG＝60°，∴∠GBD＝

∠DOG＝30°，故答案为：30°．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3，∴C（0，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，把C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴b＝2；（2）存在，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，分两种情况：①P在x轴上方时，如图1，∠PDB+∠DBP＝45°，

∵∠EPB＝∠PDB+∠DBP＝45°，∠BEP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BE＝PE＝3﹣1＝2，∴P（1，2）；②当P在x轴的下方时，如图2，∠BDP+∠BPD＝45°，

在DE上取一点F，使BE＝EF，连接BF，∵∠BDF+∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠BPD，∴△BDF∽△PDB，∴

，即

，∴PD＝10，∴EP＝10﹣4＝6，∴P（1，﹣6），综上，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣6）．22．解：（1）①∵当PC＝2.00cm，PD＝4.00cm时，则PC·PD＝8；当PC＝2.33cm，PD＝3.44cm时，则PC·PD＝8，∴推测PC·PD＝8，∴当PC＝3.00cm时，PD＝

≈2.67cm，当PC＝4cm时，PD＝2cm，即a＝2.67，b＝2，故答案为：2.67，2；②PC·PD＝8，理由如下：连接AC，

∵∠ACP＝∠BDP，∠CAP＝∠BDP，∴△BDP∽△CAP，∴

＝

，即CP·DP＝AP·BP＝2×4＝8；（2）函数yBD图象如下：

（3）由PC·PD＝8，可得yPD＝

，在同一坐标系中画出yPD＝

的图象，若△BPD为等腰三角形，BP＝DP时，PC＝x＝4，若△BPD为等腰三角形，BP＝BD时，PC＝x≈4.4，若△BPD为等腰三角形，DP＝BD时，PC＝x≈4.5．23．解：（1）△MBF是等边三角形，理由如下，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∴tan∠BAC＝

＝

，∴∠BAC＝30°，∵点M为AE的中点，EF⊥AC，∠ABC＝90°，∴MB＝AM＝ME，MF＝AM＝ME，∴MF＝MB，∠MAF＝∠MFA，∠MAB＝∠MBA，∴∠BMF＝∠BME+∠FME＝2∠MAF+2∠MAB＝2∠BAC＝60°，∴△MBF是等边三角形；（2）△MBF的形状没有变化，理由如下：如图2，延长EF到E′，使E′F＝EF，延长AB到A′，使A′B＝AB，连接CE′，AE′，A′E，A'C，

如图①，∵∠BAC+∠AFE+∠ABE+∠BEF＝360°，∴∠BEF＝150°，∴∠CEF＝∠BAC＝30°，如图②，∵E′F＝EF，∠CFE＝90°，∴EC＝CE'，∴∠CEE'＝∠CE'E＝30°，∴∠ECE'＝120°，同理可得AC＝A'C，∠ACA'＝120°，∴∠ACA'＝∠ECE'，∴∠ECA'＝∠E'CA，∴△A'CE≌△ACE'（SAS），∴A'E＝AE'，∠CAE'＝∠CA'E，∵点M是AE的中点，E′F＝EF，A′B＝AB，∴AE'＝2MF，AE'∥MF，A'E＝2MB，MB∥A'E，∴MF＝MB，∠EMF＝∠EAE'，∠AMB＝∠AEA'，∵∠EAE'+∠AEA'＝180°﹣∠AA'E﹣∠E'AA'＝180°﹣（∠AA'C+∠EA'C+∠E'AA'）＝180°﹣（∠AA'C+∠CAE'+∠E'AA'）＝180°﹣（30°+30°）＝120°，∴∠EMF+∠AMB＝120°，∴∠FMB＝60°，∴△BMF是等边三角形；（3）如图③，当点E在线段AF上时，

如图①中，∵AD＝BC＝3，CE＝2，∠BAC＝∠CEF＝30°，∠ABC＝∠CFE＝90°，∴AC＝6，CF＝1，EF＝

，如图③∵AF＝

＝

，∴AE＝

﹣

，∵点M是AE的中点，∴ME＝

，∴MF＝ME+EF＝

；当点F在线段AE上时，

同理可求AF＝

，∴AE＝

，∵点M是AE的中点，∴ME＝

，∴MF＝ME﹣EF＝

；综上所述：MF＝

或

．

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