17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置
远距离航海中对经纬和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。这类问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射和初速度推测它能达到的高度和射程。这正是函数概念产生和发展的背景。
“function”一次最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用。
在中国，清代数学家李善兰（1811-1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”。
《代微积拾级》
莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化二改变的几何量，如坐标、切线等。他的学生、瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示。
后来，数学家认为这不是判断函数的标准。只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以，1775年瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数。”
欧拉，1707-1783
随着对微积分的深入研究，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识推进了。德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数。”这个定义较清楚地说明了函数的内涵。只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了。不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示。如狄利克雷函数
它只能用对应的语言表达。19世纪70年代后，随着集合的概念出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言来表述。
函数的概念就是这样随着数学的发展，不断得到严谨化、精确化的表达。
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