本题选自2022年贵阳中考数学填空压轴题,以等腰直角三角形为背景,考查几何求值的问题。难度不大,而且题目涉及的模型非常典型,具体请看下文。
【题目】
(2022·贵阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,AC=BC=6cm,∠ACB=∠ADB=90°.若BE=2AD,则△ABE的面积是 cm²,∠AEB= 度.
图中关键的一个条件就是BE=2AD,这个比较特殊。
遇到等腰直角三角形,常常考虑用旋转等方式构造辅助线。如果熟悉本题模型的同学,可以发现其实BD会平分∠ABC,以往的作法就是分别延长AD与BC,并使得它们交于一点F。如下图所示。可以得到两个三角形全等,也就是△ACF≌△BCE(AAS)。由于BE=2AD,那么就可以得到AF=2AD,也就是说点D为AF的中点,而且BD会垂直于AF,那么就可以得到BD垂直平分AF,那么就可以得到AB=BF,也就是说△ABF为等腰三角形,根据三线合一,可以得到BD平分∠ABF。已知AC=BC=6,那么就可以得到AB=6√2,那么可以得到CF=6√2-6,
进而根据勾股定理,可以得到BE²=AF²=AF²+CF²=144-72√2。
△ABE的面积S=1/2BE·AD=1/4BE²=36-18√2。
而∠AEB=∠ACB+∠CBD=90°+22.5°=112.5°。
当然,还可以考虑下面这种构造方式,取BE的中点F,连接CF。那么根据直角三角形斜边中线的性质,可以得到CD=CF=EF=BF=AD,也就是说△ADC与△BFC均为等腰三角形。而且还可以得到△DCF为等腰三角形,那么DF=√2CF。如果设AD=x,那么就可以得到BF=x,DF=√2x,根据勾股定理可以得到AB²=AD²+BD²=x²+(√2+1)²x²=(4+2√2)x²=2BC²=72,那么就可以得到AD²=x²=72/(4+2√2)=9(4-2√2)=36-18√2,那么就可以得到△ABE的面积S=1/2AD·BE=AD²=36-18√2。
如下图,过点E作EF垂直AB于点F。那么就可以得到△AEF为等腰直角三角形。设AF=EF=x,那么可以得到AE=√2x,BF=6√2-x,CE=6-√2x。那么可以得到(1+√2)x²-(12+6√2)x+36=0,此时可以发现AF=EF=6/(1+√2)=6(√2-1),那么可以得到CE=6-AE=6-6(2-√2)=6(√2-1)=EF,那么就可以得到点E到∠ABC两边的距离相等,也就是说BD平分∠ABC。此时△ABE的面积S=1/2AB·EF=1/2×6√2×6(√2-1)=18(2-√2)。
本题主要考查“等腰直角三角形+角平分线”的性质,先观察图形,然后再根据以往的经验进行求解,构造与角的平分线有关的辅助线。本题虽然是小题,但是计算量不小,特别是涉及分母有理化,仍然有一定的难度。
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