例题六：
如图所示，在直角坐标系中，线段EF的端点E（-4，-1）、F（-1，-4），在平面内将线段EF平移到E’F’的位置，已知点E’的坐标为（1，1）求此时点F’的坐标。
反思：
通过分析，我们知道左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标。而利用全等来解释，我们就会发现对应点的平移都是相同的。
例题七：
如图所示，在直角坐标系中，线段AB的端点A（-3，4）、B（4，1），在平面内将线段AB沿x轴折叠，求折叠后点A’、B’的坐标。
例题八：
如图所示，在直角坐标系中，线段AB的端点A（-3，4）、B（4，1），在平面内将线段AB沿直线y =2折叠，求折叠后点A’、B’的坐标。
例题九：
如图所示，在直角坐标系中，线段EF的端点E（-4，-1）、F（-1，-4），在平面内绕原点旋转180°，求旋转后点E’、F’的坐标。
例题十：
如图所示，在直角坐标系中，线段EF的端点E（-4，-1）、F（-1，-4），在平面内绕点P（1，2）旋转180°，求旋转后点E’、F’的坐标。
例题十一：
如图所示，在直角坐标系中，线段EF的端点E（-4，-1）、F（-1，-4），在平面内绕点P（1，2）逆时针旋转90°，求旋转后点E’、F’的坐标。
由于点P处有∠EPE’=90°，我们除了可以在这儿构造手拉手，也可以构造一线三
等角来处理（如下图）。
反思：
这儿的例题六是平移，例题七、八是翻折，例题九、十、十一是旋转，三者都是全等变换，所以我们在解决问题的过程中也都运用了全等三角形的相关知识。了解了本质，之后不管怎样平移，沿哪条线翻折，或是旋转任意的角度，都可以构造全等三角形求解。
例题十二：
轴的平移
平移坐标轴看似很复杂，其实本质一样，抓住线段长不变，看清变化后的点的象限，注意符号就行了。
如图所示在直角坐标系中，点A（-1，3），点B（3，2），现将直角坐标系的原点移到点A处，此时点B的坐标是多少？
由图可知此时点B在第四象限，AM=4，BM=1，所以此时点B的坐标为（4，-1）.
总结：
通过上面各种类型的例题，我们可以发现解决直角坐标系中题目的方式方法。首先直角坐标系中就只有一类问题，那就是坐标和线段长之间的互相转化；解题的方法就是利用几何知识（对称、全等）将横着和竖着的线段进行转化；做题时要注意必要的讨论；最后我们要清楚无论坐标系怎样变换，线段的长是不变的，因为图形的形状和大小是固定的。
在此我不赞成给出什么公式，平移、翻折、旋转的公式都不应该让学生记住。搞清本质是全等，用几何的思维解决线段相等问题，然后利用坐标和线段之间的关系来求解。数学问题的解决就要直击问题本质，充分利用数形关系，避免数学学习文科化的倾向。
平面直角坐标系的意义
在笛卡尔之前,几何与代数是数学中两个不同的研究领域.笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度,认为希腊人的几何学过于依赖于图形,束缚了人的想象力.对于当时流行的代数学,他觉得它完全从属于法则和公式,不能成为一门改进智力的科学.因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来,建立一种“真正的数学”。
笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题,用代数学的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的.依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。
1637年,笛卡尔发表了《几何学》,创立了平面直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置,用坐标来描述空间上的点.进而创立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何性质。
解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的“数” 与“形”统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合，达到完美的统一。笛卡尔的这一天才创见,更为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域.最为可贵的是,笛卡尔用运动的观点,把曲线看成点的运动的轨迹,不仅建立了点与实数的对应关系,而且把形（包括点、线、面）和“数”两个对立的对象统一起来,建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立,不仅标志着函数概念的萌芽,而且标明变量进入了数学,使数学在思想方法上发生了伟大的转折--由常量数学进入变量数学的时期。
关于笛卡尔的轶事
大家都看过景田百岁山的广告吧，其实这个广告跟笛卡尔有关。
1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。从此，他当上了小公主的数学老师。
小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己心形线和研究的新领域--直角坐标系。每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。
笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ)。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。
公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的'心形线'。
当然这是个美丽的谎言。
在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上肺炎导致的。
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