对角互补模型（2）
“120°——60°”与“α——180°-α”全等模型
王 桥
咱们上回书说道：解决“90°——90°对角互补全等模型”的通法是“做双垂”和“旋转”，那么，这种策略是否适合“60°——120°对角互补全等模型”和“α——180°-α对角互补全等模型”呢？
我们不妨以“α——180°-α全等型对角互补”为例，建立起一般性的数学模型。
建立模型
如图，已知∠AOB=α，点C为∠AOB平分线上一点，OC=m，D为OA上动点，∠DCE=180°-α。试证明：
（1）CD=CE；
（2）OD+OE为定值；
（3）四边形DOEC的面积为定值；
【策略1】对角互补做双垂
如图，过点C分别作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于N。
∵OC平分∠AOB，∴CM=CN。∵∠AOB=α，∠DCE=180°-α，∴∠ODC+∠OEC=180°，∴∠CDM=∠CEN。易证明△CMD≌△CNE，∴CD=CE，MD=NE，且△CMD面积等于△CNE的面积。
易证明△CMO≌△CNO，则OM=ON，∴OD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+MD=OM+ON=2OM，
【策略2】“共顶点，等线段，对角互补用旋转”
如图，在OB的延长线上截取CN=CO，
至此，“90°——90°”和“120°——60°”的全等型对角互补模型的结论即可套公式：
1、90°—90°模型：如图1，若∠AOB=90°，∠DCE=90°，OC平分∠AOB，
2、120°—60°模型：如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB，则：
我们甚至还可以得出“60°——120°”全等型对角互补模型的结论：
3、60°—120°模型：如图3，若∠AOB=60°，∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则
注：
1、上述几个模型中，其中条件“OC平分∠AOB”和结论“CD=CE”是可以互换的！大家下去可以自己研究。
2、“对角互补，四点共圆”。其实对角互补图形的四个顶点必共圆——关于四点共圆，可参阅《春季攻势》第14讲“圆与辅助圆”相关内容。
从“90°——90°对角互补全等模型”及“120°——60°对角互补全等模型”到“α——180°-α对角互补全等模型”是从特殊到一般的数学思想。特殊情况往往是比较简单的，从特殊情况找到解决问题的突破口——对角互补“做双垂”和“共顶点，等线段，对角互补用旋转”，进而总结出一般性的结论，这就是类比归纳思想；而我们先把“α——180°-α对角互补全等模型”的结论找出来，建立一般性的模型，再推广到“90°——90°”“120°——60°”乃至“60°——120°”则又是从一般到特殊的演绎推理思想......
其实，“对角互的全等模型”中的动点D或E还可以在直线OA或直线OB上运动。
下面的题目，大家可以练习下：
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