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微积分发展的历史之我见

2018-06-21

  微积分是很有用的一个数学分支,是高等数学的基础之一。我就从微积分开始介绍我的理论。

        微积分是应实际需要而产生的。例如知道运动的结果求运动的过程,反过来已知运动的过程求其运动的结果就需要微分运算和积分运算。几何上求曲线的切线,物理上已知运动方程求瞬时速度,就是求函数的微分,反过来就是求积分。

        初期的微积分是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的。最初的想法是研究自变量有微小的变化时函数有多大的变化,函数值的变化与自变量的变化有什么关系。例如自由落体的运动方程为:s=1/2gt/2(/2表示上标即t/2表示t的平方)。在时刻t有一个微小的变化记为⊿t,此时的时刻为t+⊿t函数值的变化为⊿s,是t+⊿t点的函数值减去t点的函数值之差。即⊿s=1/2g(t+⊿t/2-1/2gt/2.在这个等式中,若⊿t=0,显然⊿s=0,⊿t≠0,显然⊿s≠0,当⊿t≠0时

⊿s=1/2g(t+⊿t/2-1/2gt/2=⊿s=1/2g(t/2+2t⊿t+(⊿t/2-1/2gt/2=gt⊿t+1/2g⊿t/2=(gt+1/2gt)t。当时就把等式最后的主要部分gt⊿t称为函数在这点的微分,记为ds,此时把⊿t记为dt,称为自变量的微分。ds/dt称为微商,有微分的商的意思。即ds=gt*dt。ds/dt=gt。这两个等式可看成是从dt=0中得到。在(gt+1/2gt)中令dt=t=0就得ds=gt*dt,在ds/dt=gt+1/2gt,只有令等式右边的t=dt=0,才能得到ds/dt=gt。这就出现一个矛盾,在求微分时只能令括号里面的dt=0,括号外面的dt≠0,在求微商时只能令等式右边的dt=0,等式左边的dt≠0,才能求得。这样dt、ds就有了双重属性,既等于0又不等于0.

    当时用这种方求函数的微分是很方便的。例如求函数y=f(x)的微分,先假设dx≠0,计算差分⊿y=f(x+dx)-f(x)到⊿y=(dy/dx)*dx+ο(dx),ο(dx)表示dx平方以上的各项和。再令dx=0即ο(dx)=0就得dy=(dy/dx)*dx。这种方法灵活、方便,只要会函数式的代数运算就能求函数的微分或微商。所以当时有十多岁的儿童也能计算函数的微分。缺点是理论不严密,能把无微分的点也能求出微分。

 当时的逻辑是不能允许dx、dy的是0又非0的属性的。也不能理解把一个非0的数dx当作0去掉以后还能得出一个正确的等式。数学史上为此争论了二百多年,也试图用各种方法解决这个问题,但都没有从根本上解决。其中一个被多数人接受的理论,就是建立在极限理论为基础的微积分理论,称为标准分析。此外还有非标准分析,A.鲁宾逊于1960年创立。鲁宾逊证明,实数结构R可扩张为包含无穷小数和无穷大数的系统,在这个系统中微分是无穷小数。但因此理论基础太深计算复杂应用的人不多。

    真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的。

数列极限:

  定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式

  |Xn - a|<ε

  都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)

函数极限的专业定义:

  设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:

  |f(x)-A|<ε

  那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

    在此前提下函数y=f(x)的微商被定义为dy/dx=lim ⊿y/⊿x (⊿x →0)。也称为函数y=f(x)的导函数,简称导数。微分被定义为函数改变量⊿y的线性主部,即dy=A*dx。可以证明A=dy/dx,所以dy=(dy/dx)*dx。这个理论的缺点是。此定义是存在性定义,没给出极限的具体求法。而且极限的证明:是根据给定的ε找δ,过程繁杂。失去了微积分初期的灵活、方便和易求的特点。也没从根本上解决逻辑上的矛盾。看一看定义中的正数ε,它必须具有常量特性,(无论它多么小)也不能是无穷小变量,否则就会犯用无穷小变量定义无穷小变量的逻辑错误。其次正数ε是任意给定的,必须具有变量的属性。所以正数ε在取极限过程中既是常量又是变量。既然这样为什么dx既等于0又不等于0就不可以接受呢?我们再看等式dy=(dy/dx)*dx。其中dx显然是可以约分的,两边为dy=dy。但在定义中,分母的dx是⊿x →0得到的。而分子的*dx是不取极限的。也是个矛盾。在初期微积分中和非标准分析中⊿x →0都可看成是无穷小数,在标准分析中成为无穷小变量,其倒数也是无穷大变量,不同阶的无穷大变量是变化的快慢,没有了无穷大数,也就没有了超限数,白尔序数没了,很有用的超限归纳法也就无基础了。标准分析的问题还是不少的。

    再看一看我国的科学界对此问题是何态度。在文化大革命中,我国一个数学权威机构,以笔名舒立,发表一篇权威性文章《微积分的理论是怎么来的?》摘录几段:“但是,由牛顿和莱布尼兹大体上完成的微积分,还有着严重的缺点,它的理论基础是很不完善的。”接着肯定了极限论为基础的标准分析,说它是符合辩证唯物论。指出:“理论既有客观真理性,又具有阶级性。每一个时期的各种理论,包括自然科学和社会科学的各种理论,都为一定的阶级服务的,是整个社会的产物,它必定反应着当时站统治地位的思想体系。例如,十六到十八世纪,欧洲的资产阶级,正是上升时期,站统治地位的哲学思想是形而上学的唯物主义(形式逻辑)。因而当时人们衡量理论存不存在缺点的标准,它的理论基础是不是完善的标准,是形而上学的唯物主义及机戒唯物论。”“我们现在的观点应当是客观真理性与阶级性统一的观点,因而,看他符合不符合辩证唯物论。”在这样的环境下,谁还能,谁还敢有所突破,有所创新呢?

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