2017届高三七校联考期中考试数学试卷
第Ⅰ卷 2016年11月
说明：本卷满分为160分.考试时间为120分钟.
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在第▲ 象限．
2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲．
S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
(第2题) (第4题)
3.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是▲ ．
4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
5．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
▲ ．
6．已知函数
是奇函数，当
时，
，且
，则
▲ ．
7.设函数
的部分图象如图所示.
则
= ▲
(第7题)
8.如图，在
的方格纸中，若
和
是起点和终点均在格点的向量，则向量
与
的夹角余弦值是 ▲ ．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tan(β－α)的值为 ▲ ．
10.正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为 ▲ ．
11.已知直线l：x－y＝1与圆M：x2+y2－2x＋2y－1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于
直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ▲ ．
12．如图，梯形
中，
，
，
，
若
，则
▲ ．
13．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为▲ ．
14．若
，且对任意
的恒成立，则实数
的取值范围为 ▲ ．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．
15．（本小题满分14分）
在
中，已知
，向量
，
，且
.
(1) 求A的值；
(2) 若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积．
16. （本小题满分14分）
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
17.（本小题满分14分）
已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)，离心率为
，左准线方程是
，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；
18.（本小题满分16分）
如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在
上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
(1).若
，求
的长度；
(2).当点P选择在何处时，才能使得修建的小路
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
19.（本小题满分16分）
设数列
的前
项和为
，且满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式；
（3）设
，数列
的前n项和为
.求
.
20．（本小题满分16分）
对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||．
（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；
（2）设f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1,e])．(e≈2.718)
①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a；
②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m的取值范围．
2017届高三七校联考数学试卷
第Ⅱ卷 附加题部分
说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.
请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21(B)．（选修４－２：矩阵与变换）
已知a、b∈R，若M＝
所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.
21(C)．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知点P
，直线
，求点P到直线
的距离．
22．（本小题满分10分）
已知曲线C：y2＝2x－4.
(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；
(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
23．（本小题满分10分）
已知整数n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A1，A2，A3，…，
.
设A1，A2，A3，…，
中所有元素之和为Sn.
(1) 求
并求出Sn；
(2) 证明：S4＋S5＋…＋Sn＝
.
参考答案及评分标准
2017届高三七校联考期中考试数学试卷
第Ⅰ卷 2016年11月
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在第▲ 象限．
答案：二解析：z1－z2＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，从而z1－z2在第二象限．
本题考查了复数的四则运算．本题属于容易题．
2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲．
S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
答案：30 解析：由题设可知a＝0.03，从而[70，80)人数为0.03×10×100＝30人．
本题考查频率直方图的基础知识，属于容易题．
(第2题) (第4题)
3.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是▲ ．
答案：解析：由题设可知P(S1>2S2)＝＝.本题考查几何概型的基础知识．本题属于容易题．
4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
答案：11 解析：由流程图知
.本题考查流程图中当循环语句．本题属于容易题．
5．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
．
答案：
.本题主要考查等差数列的通项、前
项和公式．本题属于容易题．
6．已知函数
是奇函数，当
时，
，且
，则
．
答案：
.本题属于容易题．
7.设函数
的部分
图象如图所示.
则
= ▲
答案：
.本题考查三角函数的图像和性质．本题属于容易题．
8．
如图，在
的方格纸中，若
和
是起点和终点均在格点的向量，
则向量
与
的夹角余弦值是 ▲ ．
答案：
本题主要考查向量的运算．本题属于中等题．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tan(β－α)的值为 ．
答案：
.本题考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式.本题属于中等题．
10.正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为 ▲ ．
答案： 9 解析：＝
(x＋2y)＝(2＋8＋＋·16)≥(10＋2)＝×18＝9，当且仅当＝4，x＋2y＝2，即y＝，x＝时“＝”成立．本题考查基本不等式综合应用．本题属于中等题．
11.已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为▲ ．
答案：
.本题考查直线与圆的位置关系．本题属于中等题．
12．如图，梯形
中，
，
，
，
若
，则
▲ ．
答案：
.
13．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为▲ ．
答案：0或1 解析：∵ Sn＝kn2＋n，∴数列{an}是首项为k＋1公差为2k的等差数列，an＝2kn＋1－k.
又对于任意的m∈N*都有a＝ama4m，∴a＝a1a4，(3k＋1)2＝(k＋1)(7k＋1)，解得k＝0或1.
又k＝0时an＝1，显然对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列；k＝1时an＝2n，am＝2m，a2m＝4m，a4m＝8m，显然对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m也成等比数列．综上所述，k＝0或k＝1.
本题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查推理变形的能力．本题属于中等题．
14.若
，且对任意
的恒成立，则实数
的取值范围为 ▲ ．
答案：
，解析：易知
在
上均为增函数，不妨设
，则
等价于
即
令
，则
在
为减函数，
则
在
上恒成立，
恒成立
令
，
，
为减函数，
在
的最大值为
综上，实数
的取值范围为
.
本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力．本题属于难题．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）在
中，已知
，向量
，
，且
.
(1) 求A的值；
(2) 若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积．
解：(1) 由题意知m·n＝sinA＋cosB＝0， (2分)
又C＝，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos
＝0， (4分)
即sinA－cosA＋sinA＝0，即sin
＝0. (6分)
又0＜A＜，所以
∈(－，)，所以A－＝0，即A＝. (7分)
注：不写范围扣1分.
(2) 设||＝x，由3＝，得||＝3x，由(1)知A＝C＝，所以||＝3x，B＝.
在△ABD中，由余弦定理，得()2＝(3x)2＋x2－2×3x×xcos，(10分)
解得x＝1，所以AB＝BC＝3， (12分)
所以S△ABC＝BA·BC·sinB＝×3×3×sin＝. (14分)
16.（本小题满分14分）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
证明：(1)记A1B∩AB1＝O，连接OD.
∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD.………2分
又∵A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.………6分
注意：条件“A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！
(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC. ………8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】………10分
∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM.………12分
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D?平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM?平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．………14分
17．（本小题满分14分）已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)，离心率为
，左准线方程是
，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度；
解析：(1)设椭圆的半焦距为
，则由题意的
，解得
所以椭圆C的方程为＋y＝1.........4分
（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
若k＝0，则A(，0)或(－，0)，B(0，2)，此时ΔAOB面积为，AB＝．6分
若k≠0，则直线OA：y＝kx与椭圆＋y＝1联立得：
(1＋2k)x＝2，可得OA＝×， 8分
直线OB：y＝－x与y＝2联立得：B(－2k，2)，则OB＝2，10分
SΔOAB＝OA×OB＝×，令t＝>1，12分
则SΔOAB＝×＝(t＋)>，
所以SΔOAB的最小值为，在k＝0时取得，此时AB＝．..........14分
(注：若利用SΔOAB＝(t＋)≥，忽略k≠0的条件，求出答案的，本问给2分)
18.（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，
．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在
上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．(1).若
，求
的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路
与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
解．（1）连接
, 过
作
垂足为
, 过
作
垂足为
在
中，
，
……………4分
（2）设
，
若
，在
中，
若
则
若
则
…………………8分
在
中，
，
所以总路径长
…………………………10分
…………………………12分
令
，
当
时，
当
时，
…………………………14分
所以当
时，总路径最短.
答：当
时，总路径最短. …………………………16分
19．（本小题满分16分）
设数列
的前
项和为
，且满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式；
（3）设
，数列
的前n项和为
.求
.
解：(1)当n=1时，
，所以
（1分）
当n≥2时，
，且
所以
得：
（3分）
则数列
是以1为首项，
为公比的等比数列，
数列
的通项公式是
。 （4分）
(2) 由
且
所以：
，
则：
，
，
?? ?
，（7分）
以上n-1个等式相加得：
则：
＝2－
，又
（9分）
所以：
（10分）
（3）由题意知
（11分）
则
以上两式相减得
（13分）
则
恒成立
，
注：需用单调性证明唯一性，否则扣1分. （16分）
20．（本小题满分16分）
对于两个定义域均为D的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，则称M为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||．
（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；
（2）设f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1,e])．(e≈2.718)
①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a；
②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m的取值范围．
解：（1）|f(x)－g(x)|＝|sinx－cosx|＝|sin(x－)|≤，当x＝kπ＋，k∈Z时取“＝”，所以||f(x)，g(x)||＝（4分）
x
(0,16)
16
(16,＋∞)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
↘
↗
（2）①令h(x)＝f(x)－g(x)＝－2lnx．则h′(x)＝－＝，令h′(x)＝0，则x＝16．列表：
∵h(1)＝1；当a＝3时，h(e)＝e－3，由于e3＞16，因此e＞2，所以e－3＞－1；
当a＝4时，h(e)＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3． （10分）
②法一：由a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，得|f(x)－g(x)|≤2，从而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．
当x＝1时，上式显然成立；
当x∈(1，e]时，上式化为≤m≤
令w(x)＝，则w′(x)＝＝＝＜0，
从而w(x)在(1，e]上递减，从而w(x)min＝w(e)＝＋2，从而m≤＋2；
令v(x)＝，则v′(x)＝＝＝＞0，
从而v(x)在(1，e]上递增，从而v(x)max＝v(e)＝－2，从而m≥－2，
所以－2≤m≤＋2
又由于||f(x)，g(x)||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范围为{－2，＋2}．（16分）
法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝－mlnx，则h′(x)＝－＝．
（1）若m≤，则h′(x)≥0，从而h(x)在[1,e]上递增，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝2，m＝－2；
（ii）若m≥，则h′(x)≤0，从而h(x)在[1,e]上递减，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；
（iii）若＜m＜，则由h′(x)＝0，可得x＝4m2，列表
x
1
(1, 4m2)
4m2
(4m2,e)
e
h′(x)
－
0
＋
h(x)
1
↘
2m－mln(4m2)
↗
－m
因为－m＜－＜2，所以2m－mln(4m2)＝－2，．
令u(m)＝2m－mln(4m2)＝m(2－ln4)－2mlnm
∴u′(m)＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2ln2m＜0，
∴u(m)＞u()＝－＝，故该情况不成立．
综上，m的取值范围是{－2，＋2}． （16分）
2017届高三七校联考数学试卷
卷Ⅱ 附加题部分
本部分共4大题，每题10分，共40分。请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
附加：矩阵、极坐标与参数方程、曲线与方程、二项式定理
21(B)．（选修４－２：矩阵与变换）
已知a、b∈R，若M＝
所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.
解：设
，则
(3分)
∵
，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.
即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3. (6分)
此直线即为2x－y＝3，
∴ －2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4. (10分)
21(C)．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知点P
，直线
，求点P到直线
的距离．
解：点P的直角坐标为(3，)， (4分)
直线l的普通方程为x－y－4＝0， (8分)
从而点P到直线l的距离为
＝. (10分)
22．（本小题满分10分）
已知曲线C：y2＝2x－4.
(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；
(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：(1) ∵ 当y>0时y＝f(x)＝，∴ y′＝＝， (3分)
∴ k＝f′(3)＝， (4分)
∴ 切线为y－＝(x－3)，即x－y－1＝0. (5分)
(2)设l：y＝kx，线段AB的中点M(x，y)．由得k2x2－2x＋4＝0，(6分)
∴ Δ＝4－16k2>0，∴16k2<4，即k2<2k2<>2.(7分)
设直线l与曲线C的交点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则
x1＋x2＝－＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝，由中点坐标公式得(9分)
消去k，得y2＝x，即所求轨迹方程为y2＝x(x>2)． (10分)
23．（本小题满分10分）
已知整数n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A1，A2，A3，…，
.设A1，A2，A3，…，
中所有元素之和为Sn.
(1) 求
并求出Sn；
(2) 证明：S4＋S5＋…＋Sn＝
.
(1) 解：当n＝4时，集合M只有1个符合条件的子集，
＝1＋2＋3+4＝10，(1分)
当n＝5时，集合M每个元素出现了
次，
＝
＝40，(2分)
当n＝6时，集合M每个元素出现了
次，
＝
＝140，(3分)
所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了
，故Sn＝
·.(5分)
(2) 证明：因为Sn＝
·＝
，(7分)
则S4＋S5＋…＋Sn＝10(
)=
. (10分)
