数论之余数问题(附练习题)4

【例 15】  (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．

【解析】           除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过2+5+8=15，

既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]=18，设该数为a，则a=18m-1，即a=18(m-1)+17（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．

【巩固】            (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是3k+1型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．

 

【例 16】  (华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

【解析】           设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号  

为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．

同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．

如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为a，则a=15m+1（m为非零自然数）而且a能被7整除．注意15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是15×6+1=91．

 

【巩固】           (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是________．

【解析】           本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．1-9

共有9个数字，10-99共有90个两位数，共有数字：90×2=180(个),100-999共900个三位数，共有数字：900×3=2700 (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997-9-180)÷3=602……2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702÷9=78(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2=7．

【例 17】  有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

【解析】           本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数

发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360

练习题：

练习1.(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

 

练习2.已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

练习3.(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)

 

练习4.求12个6443相乘的积除以19的余数        

 

练习5.已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a，a²,a³-1，求该自然数的值．

练习6.(香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．

 

    练习7  1013除以一个两位数，余数是

．求出符合条件的所有的两位数．

 

    练习8 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

 

   练习9 (2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

练习10 一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．