两种不同的数学形式系统的分界线在那里？

2009年05月24日 16:53

“康托尔连续统假设”是世界级难题，自从希尔伯特将它公布出来的一个世纪以来，至今没有人能够解决（证明或者否证）。其内容为：

偶数集、自然数集、有理数集……等集合的元素个数（称为基数）是相等的，这个基数叫“阿列夫0”；

无理数集、实数集、平面点集、空间点集……等集合的基数也是相等的，这个基数叫“阿列夫1”.

也就是说，“阿列夫1”和“阿列夫0”都是“无穷大”，但这两个“无穷大”却不相等。

康托尔已经证明：阿列夫1=2^(阿列夫0)，即：阿列夫1＞阿列夫0。

“康托尔连续统假设”的内容是：是否存在一个X，使得：阿列夫1＞X＞阿列夫0？

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现在还有一个类似的问题：

哥德尔不完全性定理说的是，在一个“足够丰富的数学形式系统”中，一致性和完备性是不能两全的。并明确指出这个“足够丰富的数学形式系统”至少包含初等数论或皮亚诺算术系统。

可见初等数论或皮亚诺算术系统就是满足哥德尔不完全性定理的最小系统。

而欧氏几何、非欧几何、一阶命题逻辑、一阶谓词逻辑都曾被证明，既满足一致性，又满足完备性。也就是说，它们都不是哥德尔不完全性定理中说的“足够丰富的数学形式系统”，而是“不够丰富的数学形式系统”。

现在的问题是：“足够丰富的数学形式系统”和“不够丰富的数学形式系统”的分界线在那里？

下面提供一些推测：

不够丰富的数学形式系统有：欧氏几何、非欧几何、一阶命题逻辑、一阶谓词逻辑……

足够丰富的数学形式系统有：初等数论、皮亚诺算术系统、射影几何、素朴集合论……

不太明确的数学形式系统有：仿射几何、ZFC公理系统、BNG公理系统……

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希望有兴趣的网友修改、补充和完善以上推测。