第一章 有理数 知识点一 有理数的分类 有理数的另一种分类 想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗? 零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。 知识点二 数轴 1.填空 ① 规定了唯一的原点，正方向和单位长度 (三要素)的直线叫做数轴。 ② 比－3大的负整数是-2、-1。 ③与原点的距离为三个单位的点有2个，他们分别表示的有理数是3、-3。 2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？ 3.选择题 ① 在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（ ） Ａ整数 Ｂ负数 Ｃ非负数 Ｄ非正数 ②下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 答案 AD 知识点三 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。 知识点四 绝对值 1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。 2.绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。 3.比较两个数的大小关系 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。 知识点五 有理数加减法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2.互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。 知识点六 乘除法法则 1.两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相乘 。 0乘以任何数，都得 0 。 2.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为 偶数 时，积为正；负因数的个数为 奇数 时，积为负。 3.两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 。0除以任何一个不等于0的数，都得 0 。 4.有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为 倒数 。 5.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的 倒数 。 知识点七 乘方 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 中，底数是a，指数是n，幂是乘方的结果；读作：的n次方 或 的n次幂。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 知识点八 运算律及混合运算 1.加法交换律：a+b=b+a 1.加法交换律：a+b=b+a 2.乘法交换律：a·b=b·a 3.加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c 4.乘法结合律：a·(b·c)=(a·b)·c 5.乘法分配律：a·(b+c)=ab+ac 6.有理数混合运算顺序：先乘方；再乘除；最后算加减。 7.有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 。 8.同级运算， 从左到右进行 。 知识点九 近似数 1.近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。 2.近似数的分类 （1）具体近似数（如30.2、58.0 …） （2）带单位近似数（如2.4万…） （3）科学记数法 3.精确度：用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4万精确到千位，而非十分位，因为2.4万就是24000，4在千位上)。 4.有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。 求近似数要求保留n个有效数字时，第n+1个有效数字作四舍五入处理。 例：0.0109有三个有效数字1、0、9，要求保留2个有效数字时，0.0109的第三个有效数字9四舍五入，变为0.0110，保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。 第二章 整式的加减 知识点一 整式的相关概念 代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式) 1.单项式：数或字母的积（如5n），单个的数或字母也是单项式。 （1）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。( 如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。 （2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。 2.多项式 （1）概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 （2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 （3）多项式的排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 在做多项式的排列的题时注意： (1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符 看作是这一项的一部分，一起移动。 (2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。 b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。 3.整式: 单项式和多项式统称为整式。 4.列代数式的几个注意事项 （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式； （6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a . 知识点二 整式的加减运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏 3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。 注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 4.几个重要的代数式：（m、n表示整数） （1）a与b的平方差是： a2-b2 ； a与b差的平方是：（a-b）2 ；（本式中2为平方） （2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c； （3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1； （4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 （本式中2为平方） 第三章 一元一次方程 知识点一 方程的相关概念 等式：表示相等关系的式子。 方程：含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。 一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，并且等式两边都是整式的方程。 同解方程：两方程的解相同。 知识点二 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果a=b，那么a±c=b±c。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。 知识点三 解一元一次方程 1.一般解法： ⅰ 去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数； ⅱ 去括号； ⅲ 移项：移项要变号； ⅳ 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式； ⅴ 系数化为1：两边同除以未知数的系数, 得到方程的解x=b/a。 2.一元一次方程的应用(重点难点) 列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。 3.几种常见问题 b.行程相遇问题：三个基本量的关系 路程=速度×时间 c.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间 d.利润问题：利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。 e.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？ f.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。 应用举例 2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比( ) C.减少9% D.减少1% 3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。 4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天 5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？ 分析：设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)= 利润率(已知15.2%) 利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250 ∴(90%x-250) ／250=15.2% 第四章 图形认识初步 知识点一：几何图形 1.我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 2.有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 3.有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。 4.立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分是平面图形，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。 知识点二 点、线、面、体 1.立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。 2.几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。 知识点三 直线、射线、线段 1.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。 射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 2.点与直线的位置关系 点p在直线a上(或说直线a经过点p)； 点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。 过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。 3.线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。 两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。 两点间的距离：连接两点间的线段的长度。 线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法 知识点四 角 角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。 角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。 角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。 角的单位：度,分,秒 ①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′ ②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″ 角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。 角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。 余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。 性质：等角的补角相等；等角的余角相等。 题型一：作图题 例1 已知：线段m、n。（如图） 求作：线段AC，使AC = m - n。 作法：（1）作射线AM； （2）在射线AM上截取AB = m。 （3）在线段AB上截取BC = n。
a.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。
(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；
(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。
一般情况下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。
1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?
等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。
A.不变 B.增加1%
注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。
(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米 甲的路程=甲的速度×时间x 乙的路程=乙的速度×时间x 得到方程:9x+7x=400
(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇, 所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。
分析:合作时间=工作量／合作效率 工作量=1 合作效率=甲的效率+乙的效率
甲的效率=工作量／甲的时间=1／x 乙的效率=工作量／乙的时间=1／y
∴合作时间=1／(1／x+1／y)
则线段AC就是所求作的线段。
题型二：线段的分类考虑
例2 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长。
解：本题分两种情况：
如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；
如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，
AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．
所以线段AC的长为11 cm或5cm。
例3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线． 答案：A
题型三： 两角互补、互余定义及其性质的应用
例4 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数
解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°。
由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°。
点拨 本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题。
例5 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°。 答案：A
例6 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论。
解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°。
说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，
则 (180°－α)－(90°－α)＝90°。
题型四 角的有关运算
例7 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数。
解：因为∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例8 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD。
解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.
例9 (1)用度、分、秒表示54．12°
(2)32°44′24″等于多少度?
(3)计算：133°22′43″÷3
解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
(2)因为24″=()′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″。
题型五 钟表的时针与分针夹角问题
例10 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是__度
解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0.5°×25＝12.5°，所以15：25时钟面时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12.5°＝47.5°
答案：47.5
例11 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°。
题型六：方位角
例12 如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2.5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3 cm到达C处。
(1)画出蚂蚁爬行的路线；
(2)求∠OBC的度数；
(3)测出线段OC的长度(精确到0.1 cm)．
解：(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示
(2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°方向爬行2.5 cm到达B处，即∠OBD＝30°，则∠ABO＝60°．
又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．
所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．
(3)用刻度尺测量OC的长约为4.4 cm．
题型七 折叠问题
例12 如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数．
解：EN平分∠AEA‘,所以 ∠AEN=∠A’EN
同理,EM平分∠BEB‘,所以 ∠BEM=∠B’EM
因为：∠AEN+∠A’EN+∠BEM+∠B’EM=180度
所以：∠A’EN+∠B’EM=90度
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