【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第213题，导数综合问题

已知函数f（x）=ax﹣lnx有极小值1+ln2

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），讨论g（x）单调性；

（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．

解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣1/x，

∴当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减区间为（0，e），无极值；

当a＞0时，f′（x）=a﹣1/x=0，x=1/a，

f（x）单调递减区间为（0，1/a），

单调递增区间为（1/a，+∞），

∴x=1/a时，函数取得极小值1+ln2=1﹣ln(1/a)，

∴a=2；

（Ⅱ）解：g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x）=x﹣2lnx﹣1，

定义域为（0，+∞），g′（x）=(x-2)/x，

∴g（x）单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）；

（Ⅲ）证明：由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，

∴g（x）＞g（1）=0恒成立，

即x﹣2lnx﹣1＞0，x﹣1＞2lnx①

∵0＜x1＜x2，

∴0＜x1/x2＜1，

∴①化为x1/x2﹣1＞2ln(x1/x2)=2（lnx1﹣lnx2），

∵lnx1＜lnx2，

∴(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．

考点分析：

利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

题干分析：

（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调性，利用函数f（x）=ax﹣lnx有极小值1+ln2

求实数a的值；

（Ⅱ）设g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），利用导数的正负可得函数的单调性；

（Ⅲ）由（II）可知g（x）在（0，1）内单调递减，g（x）＞g（1）=0恒成立，由此证明：(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．