疯狂的数列|递推求通项（3）——二阶线性递推式及n阶推广

【分析】思想仍然是构造同构形式

，

则

可以确定系数

和

.从而构造等比数列

.

可以看到

和

的结构是对称的，地位是平等的，所以

.

两式作差，就能消去

，求得通项公式，

（其中

，

）

所以，关键是利用方程组

确定系数

和

，而

和

就是方程

（特征方程）的两个根.

【分析】更一般的线性递推式仍可以用待定系数法处理，但显然过于复杂了，例4中需要设p个系数，则要构建至少p个方程.但线性的递推式还可以从更高阶的矩阵过来理解，矩阵的一个来源就是系数矩阵.

【解答】线性递推式可写成矩阵形式

简记为

，

递推可得

，

其中

.

记

为

的若尔当标准型，即存在可逆矩阵

，使得

，

其中

（

）是若尔当块，

故

，

.

下面分析

的结构，

记

（其中

为复数，

为单位矩阵，

为幂零矩阵，

），则有

即

那么

的

个列向量都可以看作

的线性组合.

特别注意的是，当

时，

的指数都为正整数，正常运算即可；当

时，把

指数小于0的项都算做0.

不妨设

的最后一项为

把

代入，可得线性方程组

当方程组有解时，求出解

，则有通项公式