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高等数学(4)无穷大与无穷小(第一章 极限)

我们已经结束了极限的定义与性质的学习,一个概念的定义与性质总是抽象和枯燥的。我们在学习任何一样东西时,无论是自己感兴趣的还是不感兴趣的总会经历一个枯燥的过程,只要忍一忍,仔细专研一下这个枯燥的概念,我们就会发现跨过这道坎后,内容会简单很多。


(4)无穷大与无穷小

定义1 如果函数f(x)当x→a(或x→∞ )时的极限为零,那么称函数f(x)为当x→a(或x→∞ )的无穷小

当X趋近于∞时,函数极限值为0,故我们称函数f(x)为当x→∞时的无穷小。(注:无穷小不能理解为一个很小的数,无穷小是一个变化的过程,无穷小能比任何接近0的数还要趋近于0,而很小的数是一个定值,同理底下的无穷大也不能等于一个很大的数。)

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

有限个无穷小之和或乘积也是无穷小


定义2 函数f(x)在自变量的某一变化过程中,若函数满足 对∀ M>0, 有|f(x)|>M,则称函数f(x)是当自变量在这一变化过程中的无穷大

当X趋近于1时,函数极限值为∞,故我们称函数f(x)是x1的无穷大。(注:事实上无穷大违背了极限若存在极限必唯一的定理,无穷大是极限不存在的一种情况,显然当X趋近于1时该函数不存在极限值。)

通过观察上面两个函数的图像,我们可以发现无穷大和无穷小有一种很特殊的关系。

对于第一个函数,该函数是x的倒数,而当x趋近于∞时,函数极限值为0。

对于第二个函数,该函数是x-1的倒数,而当x趋近于1时,(x-1)趋近于0,函数极限值为∞。

由此引出下面这个定理:

无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大


例题1:

例题2:


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限于作者水平,若有不妥之处,望广大读者指正,共同进步。

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